Номер 1032, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1032, страница 258.

Условие.

1032 □ Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом $72^\circ$ друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна 120 кг.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $F$ — искомая величина каждой из двух равных сил. Угол между векторами этих сил составляет $\alpha = 72^\circ$. Величина их равнодействующей силы $R$ равна 120 кг.

Согласно правилу сложения векторов (в данном случае — правилу параллелограмма), квадрат величины равнодействующей силы можно найти по теореме косинусов:

$R^2 = F^2 + F^2 + 2 \cdot F \cdot F \cdot \cos(\alpha)$

Упростим выражение:

$R^2 = 2F^2 + 2F^2 \cos(\alpha) = 2F^2(1 + \cos(\alpha))$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся тригонометрической формулой половинного угла: $1 + \cos(\alpha) = 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

$R^2 = 2F^2 \cdot 2 \cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4F^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$

Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$R = 2F \cos(\frac{\alpha}{2})$

Теперь выразим из этой формулы искомую величину силы $F$:

$F = \frac{R}{2 \cos(\frac{\alpha}{2})}$

Подставим в формулу известные значения: $R = 120$ кг и $\alpha = 72^\circ$.

$F = \frac{120}{2 \cos(\frac{72^\circ}{2})} = \frac{120}{2 \cos(36^\circ)} = \frac{60}{\cos(36^\circ)}$

Точное значение косинуса $36^\circ$ равно $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$. Подставим это значение:

$F = \frac{60}{\frac{1+\sqrt{5}}{4}} = \frac{60 \cdot 4}{1+\sqrt{5}} = \frac{240}{1+\sqrt{5}}$

Для получения более простого вида ответа, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5}-1)$:

$F = \frac{240(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{240(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{240(\sqrt{5}-1)}{4} = 60(\sqrt{5}-1)$

Для нахождения численного значения используем приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$F \approx 60(2.236 - 1) = 60 \cdot 1.236 = 74.16$ кг.

Ответ: Величина каждой из сил равна $60(\sqrt{5}-1)$ кг, что приблизительно составляет 74.16 кг.