Номер 1030, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1030, страница 258.

Условие.

1030 Смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а один из его углов равен $\alpha$. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм со смежными сторонами $a$ и $b$, и один из его углов равен $\alpha$. Обозначим диагонали параллелограмма как $d_1$ и $d_2$.

Найдите диагонали параллелограмма

Для нахождения диагоналей воспользуемся теоремой косинусов. Диагонали параллелограмма являются третьими сторонами в треугольниках, образованных смежными сторонами.

Одна диагональ, назовем ее $d_1$, лежит напротив угла $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $\alpha$ между ними, квадрат диагонали равен: $d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Вторая диагональ, $d_2$, лежит напротив угла $180^\circ - \alpha$, так как сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. По теореме косинусов для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $180^\circ - \alpha$ между ними: $d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, выражение для квадрата второй диагонали преобразуется к виду: $d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

Ответ: Длины диагоналей параллелограмма равны $d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$ и $d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}$.

Найдите угол между ними

Пусть $\gamma$ - угол между диагоналями. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$ и стороной параллелограмма $a$. Угол, противолежащий стороне $a$ в этом треугольнике, и есть один из углов между диагоналями. Применим к этому треугольнику теорему косинусов: $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cos(\gamma)$

Упростим выражение: $a^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$

Воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$. Подставим это в предыдущее уравнение: $a^2 = \frac{2(a^2 + b^2)}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$ $a^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$

Теперь выразим из этого уравнения $\cos(\gamma)$: $\frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2}{2} - a^2$ $\frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma) = \frac{b^2 - a^2}{2}$ $d_1 d_2 \cos(\gamma) = b^2 - a^2$ $\cos(\gamma) = \frac{b^2 - a^2}{d_1 d_2}$

Подставив выражения для $d_1$ и $d_2$, получим окончательную формулу для косинуса угла. Знаменатель $d_1 d_2$ будет равен: $d_1 d_2 = \sqrt{(a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))(a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha))} = \sqrt{(a^2+b^2)^2 - (2ab\cos\alpha)^2}$ $d_1 d_2 = \sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4 - 4a^2b^2\cos^2\alpha}$

Ответ: Угол $\gamma$ между диагоналями определяется соотношением $\cos(\gamma) = \frac{b^2 - a^2}{\sqrt{a^4+b^4+2a^2b^2-4a^2b^2\cos^2\alpha}}$.