Номер 1036, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1036, страница 258.

Условие.

1036 Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом $2^{\circ}$ к горизонту, а вершину — под углом $45^{\circ}$ к горизонту. Какова высота башни?

Рис. 298

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения высоты башни разобьем ее на две части относительно горизонтальной линии, проведенной от глаз наблюдателя. Пусть $h_1$ — это высота башни над уровнем глаз наблюдателя, а $h_2$ — это высота от основания башни до уровня глаз наблюдателя. Тогда общая высота башни $H$ будет равна сумме этих двух частей: $H = h_1 + h_2$.

Мы можем рассмотреть два прямоугольных треугольника. Общим катетом для обоих треугольников является расстояние от наблюдателя до башни, которое по условию равно $50$ м.

1. Определение высоты $h_1$ (часть башни выше уровня глаз)

В первом прямоугольном треугольнике угол возвышения (угол, под которым наблюдатель видит вершину башни) равен $45^\circ$. Катет, прилежащий к этому углу, равен $50$ м, а противолежащий катет — это $h_1$.

Используя тангенс угла, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему, получаем:

$\tan(45^\circ) = \frac{h_1}{50}$

Поскольку значение $\tan(45^\circ) = 1$, мы можем найти $h_1$:

$h_1 = 50 \cdot \tan(45^\circ) = 50 \cdot 1 = 50$ м.

2. Определение высоты $h_2$ (часть башни ниже уровня глаз)

Во втором прямоугольном треугольнике угол склонения (угол, под которым наблюдатель видит основание башни) равен $2^\circ$. Прилежащий катет также равен $50$ м, а противолежащий катет — это $h_2$.

Аналогично, используя тангенс угла, получаем:

$\tan(2^\circ) = \frac{h_2}{50}$

Отсюда выражаем $h_2$:

$h_2 = 50 \cdot \tan(2^\circ)$ м.

3. Определение общей высоты башни $H$

Теперь сложим обе части, чтобы найти общую высоту башни:

$H = h_1 + h_2 = 50 + 50 \cdot \tan(2^\circ)$

Можно вынести общий множитель $50$ за скобки:

$H = 50(1 + \tan(2^\circ))$ м.

Для получения численного значения используем калькулятор для нахождения $\tan(2^\circ) \approx 0,03492$.

$H \approx 50 \cdot (1 + 0,03492) = 50 \cdot 1,03492 = 51,746$ м.

Округлив результат до сотых, получаем $51,75$ м.

Ответ: Высота башни равна $50(1 + \tan(2^\circ))$ м, что приблизительно составляет $51,75$ м.