Номер 1034, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1034, страница 258.

Условие.

1034 ◻ В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно $10$ см, а угол при основании равен $70^\circ$. Найдите периметр трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее основание, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные: $AD = 10$ см, угол при большем основании $\angle A = \angle D = 70^\circ$, а меньшее основание равно боковой стороне, то есть $BC = AB = CD$. Обозначим длину этих равных сторон через $x$.

Периметр трапеции $P$ представляет собой сумму длин всех ее сторон. Таким образом, формула для периметра будет:$P = AB + BC + CD + AD = x + x + x + 10 = 3x + 10$. Для того чтобы найти периметр, нам необходимо определить значение $x$.

Для нахождения $x$ проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Эти высоты разделят трапецию на прямоугольник $BCKH$ и два равных прямоугольных треугольника $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Равенство треугольников следует из того, что трапеция равнобедренная. Из этого следует, что отрезки $AH$ и $KD$ равны. Длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания $BC$, то есть $HK = x$.

Большее основание $AD$ можно представить как сумму трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Учитывая, что $AH = KD$ и $HK = x$, мы можем переписать это выражение как $AD = 2 \cdot AH + x$. Подставив известное значение $AD = 10$, получим уравнение: $10 = 2 \cdot AH + x$.

Теперь найдем длину отрезка $AH$, используя прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AB = x$ и угол $\angle A = 70^\circ$. Катет $AH$ является прилежащим к этому углу. Используя определение косинуса, получаем:$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$$\cos(70^\circ) = \frac{AH}{x}$Отсюда выражаем $AH$: $AH = x \cdot \cos(70^\circ)$.

Подставим найденное выражение для $AH$ в уравнение для основания $AD$:$10 = 2 \cdot (x \cdot \cos(70^\circ)) + x$Вынесем $x$ за скобки для решения уравнения:$10 = x (2\cos(70^\circ) + 1)$Теперь выразим $x$:$x = \frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}$ см.

Наконец, подставим найденное значение $x$ в формулу для периметра:$P = 3x + 10 = 3 \cdot \left(\frac{10}{1 + 2\cos(70^\circ)}\right) + 10 = \frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10$ см. Это точный ответ. Для получения численного значения воспользуемся приближенным значением $\cos(70^\circ) \approx 0,342$:$P \approx \frac{30}{1 + 2 \cdot 0,342} + 10 = \frac{30}{1 + 0,684} + 10 = \frac{30}{1,684} + 10 \approx 17,81 + 10 = 27,81$ см. Округлив до десятых, получим 27,8 см.

Ответ: $\frac{30}{1 + 2\cos(70^\circ)} + 10$ см (приблизительно 27,8 см).