Номер 1028, страница 258 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1028, страница 258.

Условие.

1028 ☐ В параллелограмме $ABCD$ $AD = 7\frac{1}{3}$ м, $BD = 4,4$ м, $\angle A = 22^\circ 30'$.

Найдите $\angle BDC$ и $\angle DBC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны и параллельны, а противолежащие углы равны.
Из условия задачи имеем:
$AD = 7\frac{1}{3}$ м, $BD = 4,4$ м, $\angle A = 22^\circ30'$.
Из свойств параллелограмма следует:
$BC = AD = 7\frac{1}{3}$ м
$\angle C = \angle A = 22^\circ30'$

Для нахождения искомых углов $\angle BDC$ и $\angle DBC$ рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. В нем нам известны две стороны $BC$, $BD$ и угол $\angle C$, противолежащий стороне $BD$. Применим к этому треугольнику теорему синусов.

Теорема синусов для $\triangle BCD$: $\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{BD}{\sin(\angle C)}$.

Нахождение $\angle BDC$

Выразим синус угла $\angle BDC$ из теоремы синусов:
$\sin(\angle BDC) = \frac{BC \cdot \sin(\angle C)}{BD}$.
Переведем значения длин сторон в удобный для расчета вид:
$BC = 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$ м
$BD = 4,4 = \frac{44}{10} = \frac{22}{5}$ м
Угол $\angle C = 22^\circ30' = 22.5^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$\sin(\angle BDC) = \frac{\frac{22}{3} \cdot \sin(22.5^\circ)}{\frac{22}{5}} = \frac{22}{3} \cdot \frac{5}{22} \cdot \sin(22.5^\circ) = \frac{5}{3}\sin(22.5^\circ)$.
Вычислим значение, используя $\sin(22.5^\circ) \approx 0.3827$:
$\sin(\angle BDC) \approx \frac{5}{3} \cdot 0.3827 \approx 0.6378$.
Теперь найдем сам угол:
$\angle BDC = \arcsin(0.6378) \approx 39.63^\circ$.
Переведем десятичную часть градуса в минуты: $0.63^\circ \times 60'/\text{град} \approx 38'$.
$\angle BDC \approx 39^\circ38'$.
Ответ: $\angle BDC \approx 39^\circ38'$.

Нахождение $\angle DBC$

Сумма углов треугольника $\triangle BCD$ равна $180^\circ$:
$\angle DBC + \angle BDC + \angle C = 180^\circ$.
Выразим искомый угол $\angle DBC$:
$\angle DBC = 180^\circ - \angle C - \angle BDC$.
Подставим известные и вычисленные значения:
$\angle DBC \approx 180^\circ - 22^\circ30' - 39^\circ38'$.
Проведем вычисления:
$180^\circ - 22^\circ30' = 179^\circ60' - 22^\circ30' = 157^\circ30'$.
$157^\circ30' - 39^\circ38' = 156^\circ90' - 39^\circ38' = (156 - 39)^\circ(90 - 38)' = 117^\circ52'$.
$\angle DBC \approx 117^\circ52'$.
Ответ: $\angle DBC \approx 117^\circ52'$.