Номер 1021, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1021, страница 257.

Условие.

1021 Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан параллелограмм со смежными сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется как произведение его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Примем за основание сторону длиной $b$. Обозначим высоту, проведенную к ней, как $h$. Тогда формула площади имеет вид:

$S = b \cdot h$

Теперь выразим высоту $h$ через сторону $a$ и угол $\alpha$. Для этого опустим высоту из вершины параллелограмма на основание $b$. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза равна стороне $a$;
• один из катетов — это высота $h$;
• угол, противолежащий катету $h$, связан с углом $\alpha$.

Рассмотрим два возможных случая для угла $\alpha$.

1. Угол $\alpha$ — острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).
В этом случае высота $h$ является катетом в прямоугольном треугольнике, противолежащим углу $\alpha$. По определению синуса:
$\sin \alpha = \frac{h}{a}$
Отсюда выражаем высоту:
$h = a \cdot \sin \alpha$

2. Угол $\alpha$ — тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).
В этом случае высота $h$ опускается на продолжение основания $b$. Она является катетом в прямоугольном треугольнике, противолежащим углу, смежному с $\alpha$, то есть углу $180^\circ - \alpha$. По определению синуса:
$\sin(180^\circ - \alpha) = \frac{h}{a}$
Согласно формулам приведения, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Поэтому мы снова получаем:
$h = a \cdot \sin \alpha$

Таким образом, в любом случае высота параллелограмма может быть выражена как $h = a \cdot \sin \alpha$.

Подставим это выражение в исходную формулу площади параллелограмма:

$S = b \cdot h = b \cdot (a \cdot \sin \alpha) = ab \sin \alpha$

Мы доказали, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Ответ: Утверждение доказано. Формула площади параллелограмма через две смежные стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$ между ними: $S = ab \sin \alpha$.