Номер 1014, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1014, страница 251.

Условие.

1014 Найдите $ \cos \alpha $, если:

a) $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $

б) $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $

в) $ \sin \alpha = 0 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения данной задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое связывает синус и косинус одного и того же угла:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$

Из этого тождества можно выразить косинус через синус:

$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$

$cos \alpha = \pm\sqrt{1 - sin^2\alpha}$

Знак «$\pm$» (плюс-минус) означает, что для заданного значения синуса (если оно не равно 1 или -1) существует два возможных значения косинуса, соответствующих разным четвертям координатной плоскости, в которых может находиться угол $\alpha$.

а)

Если $sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то подставим это значение в формулу:

$cos^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

Теперь извлечем квадратный корень из полученного значения:

$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$

Ответ: $\pm\frac{1}{2}$

б)

Если $sin \alpha = \frac{1}{4}$, то подставим это значение в формулу:

$cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Теперь извлечем квадратный корень из полученного значения:

$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{15}}{4}$

в)

Если $sin \alpha = 0$, то подставим это значение в формулу:

$cos^2\alpha = 1 - 0^2 = 1 - 0 = 1$

Теперь извлечем квадратный корень из полученного значения:

$cos \alpha = \pm\sqrt{1} = \pm1$

Ответ: $\pm1$