Номер 1012, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1012, страница 251.

Условие.

1012 Проверьте, что точки $M_1(0; 1)$, $M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$, $M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$, $A(1;0)$, $B(-1;0)$ лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов $AOM_1$, $AOM_2$, $AOM_3$, $AOM_4$, $AOB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для проверки того, что точки лежат на единичной полуокружности, необходимо убедиться, что их координаты $(x, y)$ удовлетворяют двум условиям:
1. Они лежат на единичной окружности, то есть удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 1$.
2. Они лежат в верхней полуплоскости (включая ось абсцисс), то есть $y \ge 0$.

Проверим каждую точку:

- Для точки $M_1(0; 1)$: $0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1$. Условие $y=1 \ge 0$ выполнено.

- Для точки $M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Условие $y=\frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$ выполнено.

- Для точки $M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$: $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Условие $y=\frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$ выполнено.

- Для точки $M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Условие $y=\frac{1}{2} \ge 0$ выполнено.

- Для точки $A(1; 0)$: $1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Условие $y=0 \ge 0$ выполнено.

- Для точки $B(-1; 0)$: $(-1)^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$. Условие $y=0 \ge 0$ выполнено.

Все точки удовлетворяют обоим условиям, следовательно, они лежат на единичной полуокружности.

Теперь найдем значения синуса, косинуса и тангенса для указанных углов. Для точки $M(x; y)$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, отсчитываемому от положительного направления оси Ox (от вектора $\vec{OA}$), значения тригонометрических функций определяются как: $\cos(\alpha) = x$, $\sin(\alpha) = y$, $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$).

AOM₁

Точка $M_1$ имеет координаты $(0; 1)$. Следовательно:
$\sin(\angle AOM_1) = 1$
$\cos(\angle AOM_1) = 0$
$\tan(\angle AOM_1) = \frac{1}{0}$, тангенс не определен.

Ответ: $\sin(\angle AOM_1)=1$, $\cos(\angle AOM_1)=0$, тангенс не определен.

AOM₂

Точка $M_2$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. Следовательно:
$\sin(\angle AOM_2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(\angle AOM_2) = \frac{1}{2}$
$\tan(\angle AOM_2) = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sin(\angle AOM_2)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\angle AOM_2)=\frac{1}{2}$, $\tan(\angle AOM_2)=\sqrt{3}$.

AOM₃

Точка $M_3$ имеет координаты $(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Следовательно:
$\sin(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan(\angle AOM_3) = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$.

Ответ: $\sin(\angle AOM_3)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\angle AOM_3)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(\angle AOM_3)=1$.

AOM₄

Точка $M_4$ имеет координаты $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$. Следовательно:
$\sin(\angle AOM_4) = \frac{1}{2}$
$\cos(\angle AOM_4) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan(\angle AOM_4) = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\sin(\angle AOM_4)=\frac{1}{2}$, $\cos(\angle AOM_4)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(\angle AOM_4)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

AOB

Угол $\angle AOB$ соответствует точке $B$ с координатами $(-1; 0)$. Следовательно:
$\sin(\angle AOB) = 0$
$\cos(\angle AOB) = -1$
$\tan(\angle AOB) = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: $\sin(\angle AOB)=0$, $\cos(\angle AOB)=-1$, $\tan(\angle AOB)=0$.