Номер 1008, страница 247 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1008, страница 247.

Условие.

1008 Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек M величина $(AM^2 + CM^2) - (BM^2 + DM^2)$ имеет одно и то же значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — произвольное начало координат. Обозначим радиус-векторы точек $A, B, C, D, M$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}$ соответственно.

Выразим квадраты расстояний через скалярные произведения векторов:

• $AM^2 = |\vec{AM}|^2 = |\vec{m} - \vec{a}|^2 = (\vec{m} - \vec{a}) \cdot (\vec{m} - \vec{a}) = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{a}) + |\vec{a}|^2$
• $CM^2 = |\vec{CM}|^2 = |\vec{m} - \vec{c}|^2 = (\vec{m} - \vec{c}) \cdot (\vec{m} - \vec{c}) = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2$
• $BM^2 = |\vec{BM}|^2 = |\vec{m} - \vec{b}|^2 = (\vec{m} - \vec{b}) \cdot (\vec{m} - \vec{b}) = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$
• $DM^2 = |\vec{DM}|^2 = |\vec{m} - \vec{d}|^2 = (\vec{m} - \vec{d}) \cdot (\vec{m} - \vec{d}) = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{d}) + |\vec{d}|^2$

Теперь рассмотрим искомое выражение $(AM^2 + CM^2) - (BM^2 + DM^2)$.

Сначала найдем сумму $(AM^2 + CM^2)$:

$(|\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{a}) + |\vec{a}|^2) + (|\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2) = 2|\vec{m}|^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) + |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2$

Затем найдем сумму $(BM^2 + DM^2)$:

$(|\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2) + (|\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{d}) + |\vec{d}|^2) = 2|\vec{m}|^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{b} + \vec{d}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2$

Теперь вычтем вторую сумму из первой:

$(AM^2 + CM^2) - (BM^2 + DM^2) = (2|\vec{m}|^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) + |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2) - (2|\vec{m}|^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{b} + \vec{d}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{d}|^2)$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$2|\vec{m}|^2 - 2\vec{m} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) + |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2|\vec{m}|^2 + 2\vec{m} \cdot (\vec{b} + \vec{d}) - |\vec{b}|^2 - |\vec{d}|^2$

Члены $2|\vec{m}|^2$ взаимно уничтожаются. Сгруппируем оставшиеся члены:

$(|\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 - |\vec{d}|^2) + 2\vec{m} \cdot (\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c})$

По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$. В векторной форме это записывается как:

$\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$

Отсюда следует, что $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$, или $\vec{b} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{c} = \vec{0}$.

Подставим это свойство в наше упрощенное выражение:

$(|\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 - |\vec{d}|^2) + 2\vec{m} \cdot (\vec{0}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 - |\vec{b}|^2 - |\vec{d}|^2$

Полученное выражение зависит только от радиус-векторов вершин параллелограмма $A, B, C, D$ и не зависит от радиус-вектора точки $M$. Следовательно, эта величина является постоянной для любой точки $M$.

Таким образом, доказано, что для всех точек $M$ величина $(AM^2 + CM^2) - (BM^2 + DM^2)$ имеет одно и то же значение.

Ответ: Величина $(AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2)$ является константой, не зависящей от положения точки $M$, что и требовалось доказать.