Номер 1002, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1002, страница 246.

Условие.

1002 Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:

a) A $(1; -4)$, B $(4; 5)$, C $(3; -2)$;

б) A $(3; -7)$, B $(8; -2)$, C $(6; 2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Общее уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Так как точки $A(1; -4)$, $B(4; 5)$ и $C(3; -2)$ лежат на окружности, то их координаты удовлетворяют этому уравнению. Расстояние от центра окружности $O(a; b)$ до каждой из этих точек равно радиусу $R$. Следовательно, квадраты этих расстояний равны: $OA^2 = OB^2 = OC^2 = R^2$.

Запишем выражения для квадратов расстояний:

$OA^2 = (1-a)^2 + (-4-b)^2 = (1-a)^2 + (b+4)^2$

$OB^2 = (4-a)^2 + (5-b)^2$

$OC^2 = (3-a)^2 + (-2-b)^2 = (3-a)^2 + (b+2)^2$

Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:

$(1-a)^2 + (b+4)^2 = (4-a)^2 + (5-b)^2$

$1 - 2a + a^2 + b^2 + 8b + 16 = 16 - 8a + a^2 + 25 - 10b + b^2$

$17 - 2a + 8b = 41 - 8a - 10b$

$6a + 18b = 24$

Разделим обе части на 6:

$a + 3b = 4$

Теперь приравняем $OA^2$ и $OC^2$:

$(1-a)^2 + (b+4)^2 = (3-a)^2 + (b+2)^2$

$1 - 2a + a^2 + b^2 + 8b + 16 = 9 - 6a + a^2 + b^2 + 4b + 4$

$17 - 2a + 8b = 13 - 6a + 4b$

$4a + 4b = -4$

Разделим обе части на 4:

$a + b = -1$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + 3b = 4 \\ a + b = -1 \end{cases}$

Выразим $a$ из второго уравнения: $a = -1 - b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-1 - b) + 3b = 4$

$-1 + 2b = 4$

$2b = 5$

$b = 2.5$

Теперь найдем $a$:

$a = -1 - 2.5 = -3.5$

Таким образом, центр окружности находится в точке $O(-3.5; 2.5)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $A(1; -4)$:

$R^2 = OA^2 = (1 - (-3.5))^2 + (-4 - 2.5)^2 = (4.5)^2 + (-6.5)^2 = 20.25 + 42.25 = 62.5$

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $R^2$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-3.5))^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$

$(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$

Ответ: $(x + 3.5)^2 + (y - 2.5)^2 = 62.5$

б)

Аналогично пункту а), используем общее уравнение окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.

Точки $A(3; -7)$, $B(8; -2)$ и $C(6; 2)$ лежат на окружности, поэтому для центра $O(a; b)$ выполняется равенство $OA^2 = OB^2 = OC^2$.

Запишем выражения для квадратов расстояний:

$OA^2 = (3-a)^2 + (-7-b)^2 = (3-a)^2 + (b+7)^2$

$OB^2 = (8-a)^2 + (-2-b)^2 = (8-a)^2 + (b+2)^2$

$OC^2 = (6-a)^2 + (2-b)^2$

Приравняем $OA^2$ и $OB^2$:

$(3-a)^2 + (b+7)^2 = (8-a)^2 + (b+2)^2$

$9 - 6a + a^2 + b^2 + 14b + 49 = 64 - 16a + a^2 + b^2 + 4b + 4$

$58 - 6a + 14b = 68 - 16a + 4b$

$10a + 10b = 10$

Разделим обе части на 10:

$a + b = 1$

Теперь приравняем $OB^2$ и $OC^2$:

$(8-a)^2 + (b+2)^2 = (6-a)^2 + (2-b)^2$

$64 - 16a + a^2 + b^2 + 4b + 4 = 36 - 12a + a^2 + 4 - 4b + b^2$

$68 - 16a + 4b = 40 - 12a - 4b$

$-4a + 8b = -28$

Разделим обе части на -4:

$a - 2b = 7$

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 1 \\ a - 2b = 7 \end{cases}$

Выразим $a$ из первого уравнения: $a = 1 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(1 - b) - 2b = 7$

$1 - 3b = 7$

$-3b = 6$

$b = -2$

Теперь найдем $a$:

$a = 1 - (-2) = 3$

Таким образом, центр окружности находится в точке $O(3; -2)$.

Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя координаты точки $A(3; -7)$:

$R^2 = OA^2 = (3 - 3)^2 + (-7 - (-2))^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$

Подставим найденные значения $a$, $b$ и $R^2$ в общее уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 25$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$