Номер 1003, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1003, страница 246.

Условие.

1003 Вершины треугольника ABC имеют координаты $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$. Составьте уравнения:

а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

б) прямых AB, BC и CA;

в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$.

а) Уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку проходит через его середину и перпендикулярен ему.

1. Серединный перпендикуляр к стороне AB.

Найдем координаты середины стороны AB, точки $M_{AB}$:
$M_{AB} = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}) = (\frac{-7 + 3}{2}; \frac{5 + (-1)}{2}) = (-2; 2)$.

Найдем угловой коэффициент прямой AB:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 5}{3 - (-7)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.

Угловой коэффициент $k_1$ серединного перпендикуляра к AB удовлетворяет условию $k_1 \cdot k_{AB} = -1$, откуда $k_1 = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $M_{AB}(-2; 2)$ с угловым коэффициентом $k_1 = \frac{5}{3}$:
$y - 2 = \frac{5}{3}(x - (-2)) \Rightarrow 3(y - 2) = 5(x + 2) \Rightarrow 3y - 6 = 5x + 10 \Rightarrow 5x - 3y + 16 = 0$.

2. Серединный перпендикуляр к стороне BC.

Найдем координаты середины стороны BC, точки $M_{BC}$:
$M_{BC} = (\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}) = (\frac{3 + 5}{2}; \frac{-1 + 3}{2}) = (4; 1)$.

Найдем угловой коэффициент прямой BC:
$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - (-1)}{5 - 3} = \frac{4}{2} = 2$.

Угловой коэффициент $k_2$ серединного перпендикуляра к BC: $k_2 = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{2}$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $M_{BC}(4; 1)$ с угловым коэффициентом $k_2 = -\frac{1}{2}$:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow 2(y - 1) = -(x - 4) \Rightarrow 2y - 2 = -x + 4 \Rightarrow x + 2y - 6 = 0$.

3. Серединный перпендикуляр к стороне CA.

Найдем координаты середины стороны CA, точки $M_{CA}$:
$M_{CA} = (\frac{x_C + x_A}{2}; \frac{y_C + y_A}{2}) = (\frac{5 + (-7)}{2}; \frac{3 + 5}{2}) = (-1; 4)$.

Найдем угловой коэффициент прямой CA:
$k_{CA} = \frac{y_A - y_C}{x_A - x_C} = \frac{5 - 3}{-7 - 5} = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6}$.

Угловой коэффициент $k_3$ серединного перпендикуляра к CA: $k_3 = -\frac{1}{k_{CA}} = -\frac{1}{-1/6} = 6$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $M_{CA}(-1; 4)$ с угловым коэффициентом $k_3 = 6$:
$y - 4 = 6(x - (-1)) \Rightarrow y - 4 = 6(x + 1) \Rightarrow y - 4 = 6x + 6 \Rightarrow 6x - y + 10 = 0$.

Ответ: уравнения серединных перпендикуляров к сторонам AB, BC и CA соответственно: $5x - 3y + 16 = 0$, $x + 2y - 6 = 0$, $6x - y + 10 = 0$.

б) Уравнения прямых AB, BC и CA.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, задается формулой $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.

1. Прямая AB. Точки $A(-7; 5)$ и $B(3; -1)$.
$\frac{x - (-7)}{3 - (-7)} = \frac{y - 5}{-1 - 5} \Rightarrow \frac{x + 7}{10} = \frac{y - 5}{-6}$.
$-6(x + 7) = 10(y - 5) \Rightarrow -3(x + 7) = 5(y - 5) \Rightarrow -3x - 21 = 5y - 25 \Rightarrow 3x + 5y - 4 = 0$.

2. Прямая BC. Точки $B(3; -1)$ и $C(5; 3)$.
$\frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)} \Rightarrow \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{4}$.
$4(x - 3) = 2(y + 1) \Rightarrow 2(x - 3) = y + 1 \Rightarrow 2x - 6 = y + 1 \Rightarrow 2x - y - 7 = 0$.

3. Прямая CA. Точки $C(5; 3)$ и $A(-7; 5)$.
$\frac{x - 5}{-7 - 5} = \frac{y - 3}{5 - 3} \Rightarrow \frac{x - 5}{-12} = \frac{y - 3}{2}$.
$2(x - 5) = -12(y - 3) \Rightarrow x - 5 = -6(y - 3) \Rightarrow x - 5 = -6y + 18 \Rightarrow x + 6y - 23 = 0$.

Ответ: уравнения прямых AB, BC и CA соответственно: $3x + 5y - 4 = 0$, $2x - y - 7 = 0$, $x + 6y - 23 = 0$.

в) Уравнения прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне. Координаты середин сторон были найдены в пункте а): $M_{AB}(-2; 2)$, $M_{BC}(4; 1)$, $M_{CA}(-1; 4)$.

1. Средняя линия $M_{CA}M_{BC}$, параллельная стороне AB.
Прямая параллельна AB, значит ее угловой коэффициент равен $k_{AB} = -\frac{3}{5}$. Она проходит через точку $M_{BC}(4; 1)$.
$y - 1 = -\frac{3}{5}(x - 4) \Rightarrow 5(y - 1) = -3(x - 4) \Rightarrow 5y - 5 = -3x + 12 \Rightarrow 3x + 5y - 17 = 0$.

2. Средняя линия $M_{AB}M_{CA}$, параллельная стороне BC.
Прямая параллельна BC, значит ее угловой коэффициент равен $k_{BC} = 2$. Она проходит через точку $M_{AB}(-2; 2)$.
$y - 2 = 2(x - (-2)) \Rightarrow y - 2 = 2(x + 2) \Rightarrow y - 2 = 2x + 4 \Rightarrow 2x - y + 6 = 0$.

3. Средняя линия $M_{AB}M_{BC}$, параллельная стороне CA.
Прямая параллельна CA, значит ее угловой коэффициент равен $k_{CA} = -\frac{1}{6}$. Она проходит через точку $M_{AB}(-2; 2)$.
$y - 2 = -\frac{1}{6}(x - (-2)) \Rightarrow 6(y - 2) = -(x + 2) \Rightarrow 6y - 12 = -x - 2 \Rightarrow x + 6y - 10 = 0$.

Ответ: уравнения прямых, на которых лежат средние линии, параллельные сторонам AB, BC и CA соответственно: $3x + 5y - 17 = 0$, $2x - y + 6 = 0$, $x + 6y - 10 = 0$.