Номер 997, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 997, страница 246.

Условие.

997 Докажите, что четырёхугольник $ABCD$, вершины которого имеют координаты $A(3; 2)$, $B(0; 5)$, $C(-3; 2)$, $D(0; -1)$, является квадратом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны, а диагонали равны между собой.

Координаты вершин четырёхугольника: A(3; 2), B(0; 5), C(-3; 2), D(0; -1).

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Вычислим длины сторон четырёхугольника.

Длина стороны AB: $|AB| = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны BC: $|BC| = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны CD: $|CD| = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны DA: $|DA| = \sqrt{(3 - 0)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Так как $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{18}$, все стороны четырёхугольника равны. Следовательно, ABCD является ромбом.

2. Вычислим длины диагоналей.

Длина диагонали AC: $|AC| = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Длина диагонали BD: $|BD| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$.

Так как $|AC| = |BD| = 6$, диагонали четырёхугольника равны.

Поскольку ABCD — это ромб, у которого диагонали равны, он является квадратом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник ABCD является квадратом, так как все его стороны равны $\sqrt{18}$, а его диагонали равны 6.