Номер 1001, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1001, страница 246.

Условие.

1001 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $A (3; 0)$ и $B (-1; 2)$, если центр её лежит на прямой $y = x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Пусть центр окружности — точка $O(a; b)$.

1. По условию, центр окружности лежит на прямой $y = x + 2$. Следовательно, координаты центра удовлетворяют этому уравнению: $b = a + 2$.

2. Так как окружность проходит через точки $A(3; 0)$ и $B(-1; 2)$, расстояние от центра $O$ до этих точек одинаково и равно радиусу $R$. То есть $OA = OB$, или, что то же самое, $OA^2 = OB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдём квадраты расстояний $OA^2$ и $OB^2$:

$OA^2 = (3 - a)^2 + (0 - b)^2 = (3 - a)^2 + b^2$

$OB^2 = (-1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (a + 1)^2 + (b - 2)^2$

Приравняем эти выражения:

$(3 - a)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + (b - 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$9 - 6a + a^2 + b^2 = a^2 + 2a + 1 + b^2 - 4b + 4$

Сократим одинаковые члены ($a^2$ и $b^2$) в обеих частях уравнения:

$9 - 6a = 2a + 5 - 4b$

Соберем все члены с переменными в левой части, а числовые — в правой:

$4b - 6a - 2a = 5 - 9$

$4b - 8a = -4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$b - 2a = -1$, или $b = 2a - 1$.

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} b = a + 2 \\ b = 2a - 1 \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем и правые:

$a + 2 = 2a - 1$

$2 + 1 = 2a - a$

$a = 3$

Теперь найдём $b$, подставив значение $a$ в первое уравнение системы:

$b = a + 2 = 3 + 2 = 5$

Таким образом, центр окружности находится в точке $O(3; 5)$.

4. Найдём квадрат радиуса $R^2$, вычислив расстояние от центра $O(3; 5)$ до любой из заданных точек, например, до точки $A(3; 0)$:

$R^2 = OA^2 = (3 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = 0^2 + (-5)^2 = 25$

5. Подставим найденные координаты центра $(a=3, b=5)$ и квадрат радиуса $R^2=25$ в общее уравнение окружности:

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$