Номер 1007, страница 247 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1007, страница 247.

Условие.

1007. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$, и предположим, что $a > b$. Пусть $M$ – середина диагонали $AC$, а $N$ – середина диагонали $BD$. Требуется доказать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности оснований, то есть $MN = \frac{a - b}{2}$.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника.

1. Рассмотрим сторону $AB$ и ее середину – точку $K$. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, отрезок $KN$ параллелен основанию $AD$ и равен его половине: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, отрезок $KM$ параллелен основанию $BC$ и равен его половине: $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$.

3. По определению трапеции ее основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Из шагов 1 и 2 мы знаем, что $KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$. Следовательно, отрезки $KN$ и $KM$ также параллельны друг другу ($KN \parallel KM$).

4. Поскольку отрезки $KN$ и $KM$ параллельны и имеют общую точку $K$, они лежат на одной прямой. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ коллинеарны.

5. Длина отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $KN$ и $KM$ (поскольку $a > b$, то $KN > KM$).
$MN = KN - KM$.
Подставим найденные значения длин:
$MN = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$.
Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований.

Ответ: Утверждение доказано. Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна $\frac{a-b}{2}$, где $a$ и $b$ - длины большего и меньшего оснований соответственно.