Номер 1009, страница 247 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1009, страница 247.

Условие.

1009 Докажите, что медиану $AA_1$ треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что медиану $AA_1$ треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $AA_1=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AA_1$ — медиана, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению медианы, точка $A_1$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BA_1 = CA_1 = \frac{1}{2}BC$.

Для доказательства формулы воспользуемся теоремой косинусов. Применим ее к треугольникам $ABA_1$ и $ACA_1$.

Для треугольника $ABA_1$ имеем:

$AB^2 = AA_1^2 + BA_1^2 - 2 \cdot AA_1 \cdot BA_1 \cdot \cos(\angle AA_1B)$

Для треугольника $ACA_1$ имеем:

$AC^2 = AA_1^2 + CA_1^2 - 2 \cdot AA_1 \cdot CA_1 \cdot \cos(\angle AA_1C)$

Углы $\angle AA_1B$ и $\angle AA_1C$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Из свойства косинусов смежных углов следует, что $\cos(\angle AA_1C) = \cos(180^\circ - \angle AA_1B) = -\cos(\angle AA_1B)$.

Подставим $BA_1 = CA_1 = \frac{BC}{2}$ и $\cos(\angle AA_1C) = -\cos(\angle AA_1B)$ в записанные уравнения:

1) $AB^2 = AA_1^2 + (\frac{BC}{2})^2 - 2 \cdot AA_1 \cdot \frac{BC}{2} \cdot \cos(\angle AA_1B) = AA_1^2 + \frac{BC^2}{4} - AA_1 \cdot BC \cdot \cos(\angle AA_1B)$

2) $AC^2 = AA_1^2 + (\frac{BC}{2})^2 - 2 \cdot AA_1 \cdot \frac{BC}{2} \cdot (-\cos(\angle AA_1B)) = AA_1^2 + \frac{BC^2}{4} + AA_1 \cdot BC \cdot \cos(\angle AA_1B)$

Теперь сложим почленно уравнения (1) и (2). Члены с косинусом взаимно уничтожатся:

$AB^2 + AC^2 = (AA_1^2 + \frac{BC^2}{4}) + (AA_1^2 + \frac{BC^2}{4})$

$AB^2 + AC^2 = 2AA_1^2 + \frac{BC^2}{2}$

Выразим из этого равенства $AA_1^2$:

$2AA_1^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4AA_1^2 = 2AB^2 + 2AC^2 - BC^2$

Разделим обе части на 4 и извлечем квадратный корень:

$AA_1^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$

$AA_1 = \frac{\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула для длины медианы доказана.

Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$ к стороне $BC$ и $BB_1$ к стороне $AC$. По условию задачи, длины этих медиан равны: $AA_1 = BB_1$.

Используем доказанную в первой части формулу для выражения длин медиан через стороны треугольника.

Длина медианы $AA_1$, проведенной к стороне $BC$:

$AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2}$

Длина медианы $BB_1$, проведенной к стороне $AC$ (получается циклической заменой вершин $A \to B, B \to C, C \to A$):

$BB_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2BC^2 + 2BA^2 - AC^2}$

Приравняем правые части выражений, так как $AA_1 = BB_1$:

$\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2 + 2AB^2 - BC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2BC^2 + 2AB^2 - AC^2}$

Умножим обе части на 2, а затем возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$2AC^2 + 2AB^2 - BC^2 = 2BC^2 + 2AB^2 - AC^2$

Вычтем из обеих частей равенства $2AB^2$:

$2AC^2 - BC^2 = 2BC^2 - AC^2$

Сгруппируем члены, содержащие $AC^2$, в левой части, а члены, содержащие $BC^2$, — в правой:

$2AC^2 + AC^2 = 2BC^2 + BC^2$

$3AC^2 = 3BC^2$

Разделим обе части на 3:

$AC^2 = BC^2$

Так как длины сторон треугольника являются положительными числами, из равенства их квадратов следует равенство самих сторон:

$AC = BC$

Мы получили, что две стороны треугольника $ABC$ (стороны $AC$ и $BC$) равны. По определению, такой треугольник является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если две медианы треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.