Номер 1016, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1016, страница 251.

Условие.

1016 Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов $120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для вычисления синусов, косинусов и тангенсов тупых углов (углов второй четверти) можно воспользоваться формулами приведения. Все указанные углы ($120^\circ, 135^\circ, 150^\circ$) находятся во второй четверти, где синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.

Основные формулы приведения, которые мы будем использовать:

• $sin(180^\circ - \alpha) = sin(\alpha)$
• $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$
• $tan(180^\circ - \alpha) = -tan(\alpha)$

Также будем использовать основное тригонометрическое тождество для тангенса: $tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$

Для угла 120°

Представим угол $120^\circ$ как разность $180^\circ - 60^\circ$.

$sin(120^\circ) = sin(180^\circ - 60^\circ) = sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(120^\circ) = cos(180^\circ - 60^\circ) = -cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

$tan(120^\circ) = \frac{sin(120^\circ)}{cos(120^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$

Ответ: $sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, $tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.

Для угла 135°

Представим угол $135^\circ$ как разность $180^\circ - 45^\circ$.

$sin(135^\circ) = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(135^\circ) = cos(180^\circ - 45^\circ) = -cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$tan(135^\circ) = \frac{sin(135^\circ)}{cos(135^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1$

Ответ: $sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $tan(135^\circ) = -1$.

Для угла 150°

Представим угол $150^\circ$ как разность $180^\circ - 30^\circ$.

$sin(150^\circ) = sin(180^\circ - 30^\circ) = sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(150^\circ) = \frac{sin(150^\circ)}{cos(150^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$, $cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $tan(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.