Номер 1020, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1020, страница 257.

Условие.

1020 Найдите площадь треугольника ABC, если:

а) $AB = 6\sqrt{8}$ см, $AC = 4$ см, $\angle A = 60^{\circ}$;

б) $BC = 3$ см, $AB = 18\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^{\circ}$;

в) $AC = 14$ см, $CB = 7$ см, $\angle C = 48^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения площади треугольника используется формула, связывающая две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ – длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

а)

В данном случае известны стороны $AB = 6\sqrt{8}$ см, $AC = 4$ см и угол между ними $\angle A = 60^{\circ}$.

Сначала упростим значение длины стороны $AB$:

$AB = 6\sqrt{8} = 6\sqrt{4 \cdot 2} = 6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.

Теперь применим формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \sin 60^{\circ}$

Так как $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{6}$ см².

Ответ: $12\sqrt{6}$ см².

б)

Известны стороны $BC = 3$ см, $AB = 18\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle B = 45^{\circ}$.

Применим формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sin 45^{\circ}$

Так как $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 27 \cdot \frac{2}{2} = 27$ см².

Ответ: $27$ см².

в)

Известны стороны $AC = 14$ см, $CB = 7$ см и угол между ними $\angle C = 48^{\circ}$.

Применим формулу площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB \cdot \sin C$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 \cdot \sin 48^{\circ} = 7 \cdot 7 \cdot \sin 48^{\circ} = 49 \sin 48^{\circ}$ см².

Поскольку точное значение $\sin 48^{\circ}$ не является табличным, ответ оставляем в таком виде.

Ответ: $49 \sin 48^{\circ}$ см².