Номер 1018, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1018, страница 251.

Условие.

1018 Угол между лучом $OA$, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью $Ox$ равен $\alpha$. Найдите координаты точки $A$, если:

a) $OA=3, \alpha=45^{\circ}$;

б) $OA=1,5, \alpha=90^{\circ}$;

в) $OA=5, \alpha=150^{\circ}$;

г) $OA=1, \alpha=180^{\circ}$;

д) $OA=2, \alpha=30^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения координат точки A $(x, y)$ в декартовой системе координат, зная расстояние $r = OA$ от начала координат O(0,0) до точки A и угол $\alpha$, который образует луч OA с положительным направлением оси Ox, используются следующие формулы перехода от полярных координат к декартовым:

$x = r \cdot \cos(\alpha)$

$y = r \cdot \sin(\alpha)$

Применим эти формулы для каждого из предложенных случаев.

а)

Дано: $OA = 3$, $\alpha = 45°$.
Находим координаты точки A, подставляя значения в формулы:
$x = 3 \cdot \cos(45°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
$y = 3 \cdot \sin(45°) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, координаты точки A: $(\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: A $(\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2})$.

б)

Дано: $OA = 1,5$, $\alpha = 90°$.
Находим координаты точки A:
$x = 1,5 \cdot \cos(90°) = 1,5 \cdot 0 = 0$
$y = 1,5 \cdot \sin(90°) = 1,5 \cdot 1 = 1,5$
Координаты точки A: $(0; 1,5)$.
Ответ: A $(0; 1,5)$.

в)

Дано: $OA = 5$, $\alpha = 150°$.
Находим координаты точки A:
$x = 5 \cdot \cos(150°) = 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{2}$
$y = 5 \cdot \sin(150°) = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$
Координаты точки A: $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}; 2,5)$.
Ответ: A $(-\frac{5\sqrt{3}}{2}; 2,5)$.

г)

Дано: $OA = 1$, $\alpha = 180°$.
Находим координаты точки A:
$x = 1 \cdot \cos(180°) = 1 \cdot (-1) = -1$
$y = 1 \cdot \sin(180°) = 1 \cdot 0 = 0$
Координаты точки A: $(-1; 0)$.
Ответ: A $(-1; 0)$.

д)

Дано: $OA = 2$, $\alpha = 30°$.
Находим координаты точки A:
$x = 2 \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$y = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
Координаты точки A: $(\sqrt{3}; 1)$.
Ответ: A $(\sqrt{3}; 1)$.