Номер 1025, страница 257 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 1025, страница 257.

Условие.

1025 ◻ С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник $ABC$, если:

a) $\angle A = 60^\circ, \angle B = 40^\circ, c = 14;$

б) $\angle A = 30^\circ, \angle C = 75^\circ, b = 4.5;$

в) $\angle A = 80^\circ, a = 16, b = 10;$

г) $\angle B = 45^\circ, \angle C = 70^\circ, a = 24.6;$

д) $\angle A = 60^\circ, a = 10, b = 7;$

е) $a = 6.3, b = 6.3, \angle C = 54^\circ;$

ж) $b = 32, c = 45, \angle A = 87^\circ;$

з) $a = 14, b = 18, c = 20;$

и) $a = 6, b = 7.3, c = 4.8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Дано: $ \angle A = 60^\circ, \angle B = 40^\circ, c = 14 $. Найти: $ \angle C, a, b $.

1. Найдем угол $ \angle C $, используя свойство о сумме углов треугольника:
$ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (60^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $.

2. Используем теорему синусов $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $ для нахождения сторон $a$ и $b$:
$ \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 40^\circ} = \frac{14}{\sin 80^\circ} $.

3. Находим сторону $a$:
$ a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{14 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.8660}{0.9848} \approx 12.31 $.

4. Находим сторону $b$:
$ b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{14 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.6428}{0.9848} \approx 9.14 $.

Ответ: $ \angle C = 80^\circ, a \approx 12.31, b \approx 9.14 $.

б)

Дано: $ \angle A = 30^\circ, \angle C = 75^\circ, b = 4.5 $. Найти: $ \angle B, a, c $.

1. Найдем угол $ \angle B $:
$ \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ $.

2. Так как $ \angle B = \angle C = 75^\circ $, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $ b = c = 4.5 $.

3. Найдем сторону $a$ по теореме синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies a = \frac{b \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{4.5 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{4.5 \cdot 0.5}{0.9659} \approx 2.33 $.

Ответ: $ \angle B = 75^\circ, a \approx 2.33, c = 4.5 $.

в)

Дано: $ \angle A = 80^\circ, a = 16, b = 10 $. Найти: $ \angle B, \angle C, c $.

1. Найдем угол $ \angle B $ по теореме синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{10 \cdot \sin 80^\circ}{16} \approx \frac{10 \cdot 0.9848}{16} \approx 0.6155 $.
$ \angle B = \arcsin(0.6155) \approx 37.99^\circ $.

2. Найдем угол $ \angle C $:
$ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (80^\circ + 37.99^\circ) = 180^\circ - 117.99^\circ = 62.01^\circ $.

3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:
$ \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \implies c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} \approx \frac{16 \cdot \sin 62.01^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{16 \cdot 0.8830}{0.9848} \approx 14.35 $.

Ответ: $ \angle B \approx 37.99^\circ, \angle C \approx 62.01^\circ, c \approx 14.35 $.

г)

Дано: $ \angle B = 45^\circ, \angle C = 70^\circ, a = 24.6 $. Найти: $ \angle A, b, c $.

1. Найдем угол $ \angle A $:
$ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ $.

2. Используем теорему синусов $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $ для нахождения сторон $b$ и $c$:
$ \frac{24.6}{\sin 65^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 70^\circ} $.

3. Находим сторону $b$:
$ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{24.6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24.6 \cdot 0.7071}{0.9063} \approx 19.19 $.

4. Находим сторону $c$:
$ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{24.6 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24.6 \cdot 0.9397}{0.9063} \approx 25.51 $.

Ответ: $ \angle A = 65^\circ, b \approx 19.19, c \approx 25.51 $.

д)

Дано: $ \angle A = 60^\circ, a = 10, b = 7 $. Найти: $ \angle B, \angle C, c $.

1. Найдем угол $ \angle B $ по теореме синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 60^\circ}{10} \approx \frac{7 \cdot 0.8660}{10} = 0.6062 $.
$ \angle B = \arcsin(0.6062) \approx 37.31^\circ $.

2. Найдем угол $ \angle C $:
$ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (60^\circ + 37.31^\circ) = 180^\circ - 97.31^\circ = 82.69^\circ $.

3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:
$ \frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \implies c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} \approx \frac{10 \cdot \sin 82.69^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.9919}{0.8660} \approx 11.45 $.

Ответ: $ \angle B \approx 37.31^\circ, \angle C \approx 82.69^\circ, c \approx 11.45 $.

е)

Дано: $ a = 6.3, b = 6.3, \angle C = 54^\circ $. Найти: $ \angle A, \angle B, c $.

1. Так как $ a = b = 6.3 $, треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, углы при основании равны: $ \angle A = \angle B $.

2. Найдем углы $ \angle A $ и $ \angle B $:
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle A + 54^\circ = 180^\circ $.
$ 2\angle A = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ $.
$ \angle A = \angle B = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ $.

3. Найдем сторону $c$ по теореме косинусов:
$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = (6.3)^2 + (6.3)^2 - 2(6.3)(6.3) \cos 54^\circ $.
$ c^2 = 39.69 + 39.69 - 2 \cdot 39.69 \cdot \cos 54^\circ \approx 79.38 - 79.38 \cdot 0.5878 \approx 79.38 - 46.66 \approx 32.72 $.
$ c = \sqrt{32.72} \approx 5.72 $.

Ответ: $ \angle A = 63^\circ, \angle B = 63^\circ, c \approx 5.72 $.

ж)

Дано: $ b = 32, c = 45, \angle A = 87^\circ $. Найти: $ a, \angle B, \angle C $.

1. Найдем сторону $a$ по теореме косинусов:
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 32^2 + 45^2 - 2(32)(45) \cos 87^\circ $.
$ a^2 = 1024 + 2025 - 2880 \cdot \cos 87^\circ \approx 3049 - 2880 \cdot 0.0523 \approx 3049 - 150.62 \approx 2898.38 $.
$ a = \sqrt{2898.38} \approx 53.84 $.

2. Найдем угол $ \angle B $ по теореме синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} \approx \frac{32 \cdot \sin 87^\circ}{53.84} \approx \frac{32 \cdot 0.9986}{53.84} \approx 0.5935 $.
$ \angle B = \arcsin(0.5935) \approx 36.41^\circ $.

3. Найдем угол $ \angle C $:
$ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (87^\circ + 36.41^\circ) = 180^\circ - 123.41^\circ = 56.59^\circ $.

Ответ: $ a \approx 53.84, \angle B \approx 36.41^\circ, \angle C \approx 56.59^\circ $.

з)

Дано: $ a = 14, b = 18, c = 20 $. Найти: $ \angle A, \angle B, \angle C $.

1. Найдем углы, используя теорему косинусов. Начнем с угла $ \angle C $, противолежащего наибольшей стороне:
$ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{14^2 + 18^2 - 20^2}{2 \cdot 14 \cdot 18} = \frac{196 + 324 - 400}{504} = \frac{120}{504} \approx 0.2381 $.
$ \angle C = \arccos(0.2381) \approx 76.22^\circ $.

2. Найдем угол $ \angle B $:
$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{14^2 + 20^2 - 18^2}{2 \cdot 14 \cdot 20} = \frac{196 + 400 - 324}{560} = \frac{272}{560} \approx 0.4857 $.
$ \angle B = \arccos(0.4857) \approx 60.95^\circ $.

3. Найдем угол $ \angle A $:
$ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) \approx 180^\circ - (60.95^\circ + 76.22^\circ) = 180^\circ - 137.17^\circ = 42.83^\circ $.

Ответ: $ \angle A \approx 42.83^\circ, \angle B \approx 60.95^\circ, \angle C \approx 76.22^\circ $.

и)

Дано: $ a = 6, b = 7.3, c = 4.8 $. Найти: $ \angle A, \angle B, \angle C $.

1. Найдем углы по теореме косинусов. Начнем с угла $ \angle B $, противолежащего наибольшей стороне:
$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{6^2 + (4.8)^2 - (7.3)^2}{2 \cdot 6 \cdot 4.8} = \frac{36 + 23.04 - 53.29}{57.6} = \frac{5.75}{57.6} \approx 0.0998 $.
$ \angle B = \arccos(0.0998) \approx 84.27^\circ $.

2. Найдем угол $ \angle A $:
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(7.3)^2 + (4.8)^2 - 6^2}{2 \cdot 7.3 \cdot 4.8} = \frac{53.29 + 23.04 - 36}{70.08} = \frac{40.33}{70.08} \approx 0.5755 $.
$ \angle A = \arccos(0.5755) \approx 54.86^\circ $.

3. Найдем угол $ \angle C $:
$ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (54.86^\circ + 84.27^\circ) = 180^\circ - 139.13^\circ = 40.87^\circ $.

Ответ: $ \angle A \approx 54.86^\circ, \angle B \approx 84.27^\circ, \angle C \approx 40.87^\circ $.