Номер 1019, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1019, страница 251.

Условие.

1019 Найдите угол между лучом $OA$ и положительной полуосью $Ox$, если точка $A$ имеет координаты:

a) $(2; 2);$

б) $(0; 3);$

в) $(-\sqrt{3}; 1);$

г) $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Угол $\alpha$ между лучом OA и положительной полуосью Ox (осью абсцисс) можно найти, используя координаты точки A(x; y). Начало луча находится в точке O(0; 0). Тангенс этого угла определяется как отношение ординаты точки A к ее абсциссе: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$. При этом необходимо учитывать, в какой координатной четверти находится точка A, чтобы правильно определить величину угла.

а) Точка А имеет координаты (2; 2).
Координаты точки A: $x = 2$, $y = 2$. Поскольку обе координаты положительны, точка находится в первой координатной четверти.
Найдем тангенс угла $\alpha$, который луч OA образует с положительным направлением оси Ox:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$.
Угол в первой четверти, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

б) Точка А имеет координаты (0; 3).
Координаты точки A: $x = 0$, $y = 3$. Точка лежит на положительной полуоси Oy (оси ординат).
Следовательно, луч OA совпадает с положительным направлением оси Oy. Угол между положительной полуосью Ox и положительной полуосью Oy равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) Точка А имеет координаты $(-\sqrt{3}; 1)$.
Координаты точки A: $x = -\sqrt{3}$, $y = 1$. Так как $x < 0$ и $y > 0$, точка находится во второй координатной четверти.
Найдем тангенс угла $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Сначала найдем соответствующий острый угол $\alpha'$, для которого $\tan(\alpha') = |\tan(\alpha)| = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот угол равен $30^\circ$.
Поскольку точка A находится во второй четверти, искомый угол $\alpha$ вычисляется по формуле $\alpha = 180^\circ - \alpha'$.
$\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

г) Точка А имеет координаты $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.
Координаты точки A: $x = -2\sqrt{2}$, $y = 2\sqrt{2}$. Так как $x < 0$ и $y > 0$, точка находится во второй координатной четверти.
Найдем тангенс угла $\alpha$:
$\tan(\alpha) = \frac{y}{x} = \frac{2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = -1$.
Сначала найдем соответствующий острый угол $\alpha'$, для которого $\tan(\alpha') = |\tan(\alpha)| = 1$. Этот угол равен $45^\circ$.
Поскольку точка A находится во второй четверти, искомый угол $\alpha$ вычисляется по формуле $\alpha = 180^\circ - \alpha'$.
$\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.