Номер 1015, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1015, страница 251.

Условие.

1015 ☐ Найдите $\operatorname{tg} \alpha$, если:

а) $\cos \alpha = 1$;

б) $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$;

г) $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Тангенс угла $\alpha$ определяется по формуле $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Нам дано, что $\cos \alpha = 1$.
Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha + 1^2 = 1$
$\sin^2 \alpha + 1 = 1$
$\sin^2 \alpha = 0$
$\sin \alpha = 0$
Теперь найдем тангенс:
$\tg \alpha = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $0$.

б)

Дано, что $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы найти $\sin \alpha$.
$\sin^2 \alpha + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1$
$\sin^2 \alpha + \frac{3}{4} = 1$
$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Поскольку четверть угла не указана, необходимо рассмотреть два возможных случая.
1. Если $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ (угол во второй четверти), то $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. Если $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ (угол в третьей четверти), то $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, тангенс может иметь два значения.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в)

Дано, что $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Условие $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ означает, что угол $\alpha$ находится в первой четверти. В первой четверти косинус ($\cos \alpha$) и тангенс ($\tg \alpha$) положительны.
Найдем $\cos \alpha$ из тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$
$\frac{2}{4} + \cos^2 \alpha = 1$
$\frac{1}{2} + \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как угол $\alpha$ в первой четверти, выбираем положительное значение: $\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь вычислим тангенс:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$.

Ответ: $1$.

г)

Дано, что $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Условие $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ означает, что угол $\alpha$ находится во второй четверти. Во второй четверти косинус ($\cos \alpha$) и тангенс ($\tg \alpha$) отрицательны.
Найдем $\cos \alpha$ из тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$
$\frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.
Так как угол $\alpha$ во второй четверти, выбираем отрицательное значение: $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.
Теперь вычислим тангенс:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.