Номер 1013, страница 251 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 11. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 1. Синус, косинус и тангенс угла - номер 1013, страница 251.

Условие.

1013 □ Найдите $sin \alpha$, если:

а) $cos \alpha = \frac{1}{2}$;

б) $cos \alpha = -\frac{2}{3}$;

в) $cos \alpha = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения $sin\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$

Из этого тождества следует, что $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$, а значит $sin\alpha = \pm\sqrt{1 - cos^2\alpha}$. Знак синуса зависит от четверти, в которой находится угол $\alpha$. Поскольку четверть не указана, мы должны рассмотреть оба возможных знака, если они существуют.

а)

Если $cos\alpha = \frac{1}{2}$, то:

$sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Отсюда находим $sin\alpha$:

$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б)

Если $cos\alpha = -\frac{2}{3}$, то:

$sin^2\alpha = 1 - (-\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Отсюда находим $sin\alpha$:

$sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$.

в)

Если $cos\alpha = -1$, то:

$sin^2\alpha = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0$

Отсюда находим $sin\alpha$:

$sin\alpha = \sqrt{0} = 0$

В этом случае возможно только одно значение.

Ответ: $0$.