Номер 1006, страница 247 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1006, страница 247.

Условие.

1006 Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC = 17$ см и $BC = 28$ см. Высота, проведённая к большей из этих сторон (к стороне $BC$), равна 15 см. Обозначим эту высоту как $AH$. Таким образом, $AH = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. По теореме Пифагора найдём катет $HC$:
$HC^2 = AC^2 - AH^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$HC = \sqrt{64} = 8$ см.

Основание высоты $H$ может лежать как на самой стороне $BC$, так и на её продолжении. Это означает, что задача имеет два возможных решения.

Случай 1. Основание высоты H лежит на стороне BC.

В этом случае, точка $H$ находится между точками $B$ и $C$. Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $BH$ и $HC$:
$BC = BH + HC$
$BH = BC - HC = 28 - 8 = 20$ см.

Теперь найдём третью сторону треугольника $AB=c$ из прямоугольного треугольника $AHB$ по теореме Пифагора:
$c^2 = AB^2 = AH^2 + BH^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$
$c = \sqrt{625} = 25$ см.

Мы получили треугольник со сторонами $a = 28$ см, $b = 17$ см, $c = 25$ см. Найдём его медианы ($m_a, m_b, m_c$) по формуле: $m_x = \frac{1}{2}\sqrt{2y^2 + 2z^2 - x^2}$.

1. Медиана к стороне $a = 28$ см:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 17^2 + 2 \cdot 25^2 - 28^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 289 + 2 \cdot 625 - 784} = \frac{1}{2}\sqrt{578 + 1250 - 784} = \frac{1}{2}\sqrt{1044} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 261} = \sqrt{261} = \sqrt{9 \cdot 29} = 3\sqrt{29}$ см.

2. Медиана к стороне $b = 17$ см:
$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 28^2 + 2 \cdot 25^2 - 17^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 784 + 2 \cdot 625 - 289} = \frac{1}{2}\sqrt{1568 + 1250 - 289} = \frac{1}{2}\sqrt{2529} = \frac{\sqrt{9 \cdot 281}}{2} = \frac{3\sqrt{281}}{2}$ см.

3. Медиана к стороне $c = 25$ см:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 28^2 + 2 \cdot 17^2 - 25^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 784 + 2 \cdot 289 - 625} = \frac{1}{2}\sqrt{1568 + 578 - 625} = \frac{1}{2}\sqrt{1521} = \frac{39}{2} = 19,5$ см.

Ответ: $3\sqrt{29}$ см, $\frac{3\sqrt{281}}{2}$ см, $19,5$ см.

Случай 2. Основание высоты H лежит на продолжении стороны BC.

В этом случае, точка $C$ находится между точками $B$ и $H$. Длина отрезка $BH$ равна сумме длин $BC$ и $HC$:
$BH = BC + HC = 28 + 8 = 36$ см.

Найдём третью сторону треугольника $AB=c$ из прямоугольного треугольника $AHB$ по теореме Пифагора:
$c^2 = AB^2 = AH^2 + BH^2 = 15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521$
$c = \sqrt{1521} = 39$ см.

Мы получили треугольник со сторонами $a = 28$ см, $b = 17$ см, $c = 39$ см. (Проверка неравенства треугольника: $17+28=45>39$, что верно). Найдём его медианы.

1. Медиана к стороне $a = 28$ см:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 17^2 + 2 \cdot 39^2 - 28^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 289 + 2 \cdot 1521 - 784} = \frac{1}{2}\sqrt{578 + 3042 - 784} = \frac{1}{2}\sqrt{2836} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 709} = \sqrt{709}$ см.

2. Медиана к стороне $b = 17$ см:
$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 28^2 + 2 \cdot 39^2 - 17^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 784 + 2 \cdot 1521 - 289} = \frac{1}{2}\sqrt{1568 + 3042 - 289} = \frac{1}{2}\sqrt{4321}$ см.

3. Медиана к стороне $c = 39$ см:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 28^2 + 2 \cdot 17^2 - 39^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 784 + 2 \cdot 289 - 1521} = \frac{1}{2}\sqrt{1568 + 578 - 1521} = \frac{1}{2}\sqrt{625} = \frac{25}{2} = 12,5$ см.

Ответ: $\sqrt{709}$ см, $\frac{\sqrt{4321}}{2}$ см, $12,5$ см.