Номер 1005, страница 247 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 1005, страница 247.

Условие.

1005 Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, если:

a) A (-2; 0), B (3; $2\frac{1}{2}$), C (6; 4);

б) A (3; 10), B (3; 12), C (3; -6);

в) A (1; 2), B (2; 5), C (-10; -31).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что три точки A, B и C лежат на одной прямой, воспользуемся методом сравнения угловых коэффициентов. Если угловые коэффициенты отрезков, соединяющих эти точки (например, AB и BC), равны, то точки коллинеарны (лежат на одной прямой).

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Если знаменатель в этой формуле равен нулю ($x_1 = x_2$), это означает, что прямая вертикальна.

а) A(-2; 0), B(3; 2 1/2), C(6; 4)

Запишем координаты точки B в виде десятичной дроби для удобства: $B(3; 2.5)$. Координаты других точек: $A(-2; 0)$, $C(6; 4)$.

Найдем угловой коэффициент отрезка AB:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2.5 - 0}{3 - (-2)} = \frac{2.5}{5} = 0.5$

Найдем угловой коэффициент отрезка BC:

$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 2.5}{6 - 3} = \frac{1.5}{3} = 0.5$

Так как угловые коэффициенты равны ($k_{AB} = k_{BC}$), точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано.

б) A(3; 10), B(3; 12), C(3; -6)

Рассмотрим координаты точек: $A(3; 10)$, $B(3; 12)$, $C(3; -6)$.

У всех трех точек абсцисса (координата $x$) одинакова и равна 3. Это означает, что все три точки лежат на одной вертикальной прямой, уравнение которой $x=3$.

Следовательно, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано.

в) A(1; 2), B(2; 5), C(-10; -31)

Координаты точек: $A(1; 2)$, $B(2; 5)$, $C(-10; -31)$.

Найдем угловой коэффициент отрезка AB:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{5 - 2}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$

Найдем угловой коэффициент отрезка BC:

$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-31 - 5}{-10 - 2} = \frac{-36}{-12} = 3$

Так как угловые коэффициенты равны ($k_{AB} = k_{BC}$), точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано.