Номер 999, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 999, страница 246.

Условие.

999 Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: $(-4; 4)$, $(-5; 1)$ и $(-1; 5)$. Сколько решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны три вершины параллелограмма: A(-4; 4), B(-5; 1) и C(-1; 5). Четвертую вершину обозначим D(x; y). Поскольку в условии не указан порядок вершин, существует три возможных варианта построения параллелограмма. Мы найдем координаты четвертой вершины для каждого случая, используя свойство параллелограмма: его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам: $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

1. Вершины расположены в последовательности A, B, C, D (параллелограмм ABCD).

В этом случае диагоналями являются отрезки AC и BD. Их середины должны совпадать.
Координаты середины диагонали AC: $x_{AC} = \frac{-4 + (-1)}{2} = -\frac{5}{2}$; $y_{AC} = \frac{4 + 5}{2} = \frac{9}{2}$.
Координаты середины диагонали BD: $x_{BD} = \frac{-5 + x}{2}$; $y_{BD} = \frac{1 + y}{2}$.
Приравняем соответствующие координаты середин:
$\frac{-5 + x}{2} = -\frac{5}{2} \Rightarrow -5 + x = -5 \Rightarrow x = 0$.
$\frac{1 + y}{2} = \frac{9}{2} \Rightarrow 1 + y = 9 \Rightarrow y = 8$.
Координаты четвертой вершины: (0; 8).
Ответ: (0; 8).

2. Вершины расположены в последовательности A, B, D, C (параллелограмм ABDC).

В этом случае диагоналями являются отрезки AD и BC. Их середины должны совпадать.
Координаты середины диагонали BC: $x_{BC} = \frac{-5 + (-1)}{2} = -3$; $y_{BC} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.
Координаты середины диагонали AD: $x_{AD} = \frac{-4 + x}{2}$; $y_{AD} = \frac{4 + y}{2}$.
Приравняем соответствующие координаты середин:
$\frac{-4 + x}{2} = -3 \Rightarrow -4 + x = -6 \Rightarrow x = -2$.
$\frac{4 + y}{2} = 3 \Rightarrow 4 + y = 6 \Rightarrow y = 2$.
Координаты четвертой вершины: (-2; 2).
Ответ: (-2; 2).

3. Вершины расположены в последовательности A, C, B, D (параллелограмм ACBD).

В этом случае диагоналями являются отрезки AB и CD. Их середины должны совпадать.
Координаты середины диагонали AB: $x_{AB} = \frac{-4 + (-5)}{2} = -\frac{9}{2}$; $y_{AB} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
Координаты середины диагонали CD: $x_{CD} = \frac{-1 + x}{2}$; $y_{CD} = \frac{5 + y}{2}$.
Приравняем соответствующие координаты середин:
$\frac{-1 + x}{2} = -\frac{9}{2} \Rightarrow -1 + x = -9 \Rightarrow x = -8$.
$\frac{5 + y}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow 5 + y = 5 \Rightarrow y = 0$.
Координаты четвертой вершины: (-8; 0).
Ответ: (-8; 0).

Поскольку существует три возможных способа достроить параллелограмм по трем заданным вершинам, задача имеет три решения.
Ответ: 3 решения.