Номер 996, страница 246 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 996, страница 246.

Условие.

996 Вершины треугольника $ABC$ имеют координаты $A(-5; 13)$, $B(3; 5)$, $C(-3; -1)$. Найдите:

а) координаты середин сторон треугольника;

б) медиану, проведённую к стороне $AC$;

в) средние линии треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(-5; 13)$, $B(3; 5)$, $C(-3; -1)$.

а) координаты середин сторон треугольника

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формуле: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.
1. Найдем координаты точки $M_{AB}$ — середины стороны $AB$ (вершины $A(-5; 13)$, $B(3; 5)$):
$x_{M_{AB}} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_{M_{AB}} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$
Таким образом, $M_{AB}(-1; 9)$.
2. Найдем координаты точки $M_{BC}$ — середины стороны $BC$ (вершины $B(3; 5)$, $C(-3; -1)$):
$x_{M_{BC}} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_{M_{BC}} = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, $M_{BC}(0; 2)$.
3. Найдем координаты точки $M_{AC}$ — середины стороны $AC$ (вершины $A(-5; 13)$, $C(-3; -1)$):
$x_{M_{AC}} = \frac{-5 + (-3)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
$y_{M_{AC}} = \frac{13 + (-1)}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Таким образом, $M_{AC}(-4; 6)$.
Ответ: $(-1; 9)$, $(0; 2)$, $(-4; 6)$.

б) медиану, проведённую к стороне AC

Медиана, проведенная к стороне $AC$, — это отрезок $BM_{AC}$, соединяющий вершину $B$ с серединой стороны $AC$. Координаты точки $B$ — $(3; 5)$, а координаты точки $M_{AC}$ мы нашли в предыдущем пункте — $(-4; 6)$.
Найдем длину этой медианы по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$|BM_{AC}| = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$
Упростим корень: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Ответ: $5\sqrt{2}$.

в) средние линии треугольника

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и равна половине третьей стороны. Найдем длины сторон треугольника $ABC$ по формуле расстояния между точками.
1. Длина стороны $AB$ (между $A(-5; 13)$ и $B(3; 5)$):
$|AB| = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (5 - 13)^2} = \sqrt{8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$
2. Длина стороны $BC$ (между $B(3; 5)$ и $C(-3; -1)$):
$|BC| = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
3. Длина стороны $AC$ (между $A(-5; 13)$ и $C(-3; -1)$):
$|AC| = \sqrt{(-3 - (-5))^2 + (-1 - 13)^2} = \sqrt{2^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
Теперь найдем длины средних линий:
- Средняя линия, параллельная стороне $AC$, равна $\frac{1}{2}|AC| = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
- Средняя линия, параллельная стороне $BC$, равна $\frac{1}{2}|BC| = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
- Средняя линия, параллельная стороне $AB$, равна $\frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$, $4\sqrt{2}$, $5\sqrt{2}$.