Номер 990, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 990, страница 245.

Условие.

990 Даны векторы $\vec{a} \{3; 4\}$, $\vec{b} \{6; -8\}$, $\vec{c} \{1; 5\}$.

а) Найдите координаты векторов $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$, $\vec{q} = \vec{b} + \vec{c}$, $\vec{r} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$, $\vec{s} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$.

б) Найдите $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{p}|$, $|\vec{q}|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Для нахождения координат векторов, полученных в результате сложения, вычитания векторов или умножения вектора на число, необходимо выполнить соответствующие операции с их координатами. Даны векторы: $\vec{a}\{3; 4\}$, $\vec{b}\{6; -8\}$, $\vec{c}\{1; 5\}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$:
$\vec{p} = \{a_x + b_x; a_y + b_y\} = \{3+6; 4+(-8)\} = \{9; -4\}$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{q} = \vec{b} + \vec{c}$:
$\vec{q} = \{b_x + c_x; b_y + c_y\} = \{6+1; -8+5\} = \{7; -3\}$.

3. Найдем координаты вектора $\vec{r} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$:
Сначала найдем координаты вектора $2\vec{a}$: $2\vec{a} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot 4\} = \{6; 8\}$.
Теперь найдем координаты $\vec{r}$: $\vec{r} = \{6-6+1; 8-(-8)+5\} = \{1; 8+8+5\} = \{1; 21\}$.

4. Найдем координаты вектора $\vec{s} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$:
$\vec{s} = \{3-6-1; 4-(-8)-5\} = \{-4; 4+8-5\} = \{-4; 7\}$.

Ответ: $\vec{p}\{9; -4\}$, $\vec{q}\{7; -3\}$, $\vec{r}\{1; 21\}$, $\vec{s}\{-4; 7\}$.

б)

Длина (модуль) вектора $\vec{v}\{x; y\}$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

1. Найдем длину вектора $\vec{a}\{3; 4\}$:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Найдем длину вектора $\vec{b}\{6; -8\}$:
$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

3. Найдем длину вектора $\vec{p}\{9; -4\}$ (координаты из пункта а):
$|\vec{p}| = \sqrt{9^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}$.

4. Найдем длину вектора $\vec{q}\{7; -3\}$ (координаты из пункта а):
$|\vec{q}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

Ответ: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 10$, $|\vec{p}| = \sqrt{97}$, $|\vec{q}| = \sqrt{58}$.