Номер 23, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 23, страница 245.

Условие.

23 Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

Решение 4.

Решение 10.

Рассмотрим две окружности с радиусами $R$ и $r$ и расстоянием между их центрами $d$. Для удобства будем считать, что $R \ge r$. Взаимное расположение этих окружностей полностью определяется соотношением между величинами $d$, $R$ и $r$.

Проанализируем все возможные случаи.

• 1. Окружности не пересекаются и находятся одна вне другой.

  Такое расположение возникает, когда расстояние между центрами больше, чем сумма радиусов. В этом случае у окружностей нет ни одной общей точки.

  Математическое условие: $d > R + r$.

  Ответ: Окружности не имеют общих точек.

• 2. Окружности касаются внешним образом.

  Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от общей касательной. Это происходит, когда расстояние между центрами в точности равно сумме их радиусов. Окружности имеют одну общую точку.

  Математическое условие: $d = R + r$.

  Ответ: Окружности имеют одну общую точку.

• 3. Окружности пересекаются.

  Окружности пересекаются в двух различных точках. Это возможно, когда расстояние между их центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности.

  Математическое условие: $R - r < d < R + r$.

  Ответ: Окружности имеют две общие точки.

• 4. Окружности касаются внутренним образом.

  Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от общей касательной. Это происходит, когда расстояние между центрами равно разности их радиусов (при $R \neq r$). Окружности имеют одну общую точку.

  Математическое условие: $d = R - r$.

  Ответ: Окружности имеют одну общую точку.

• 5. Окружности не пересекаются, и одна находится внутри другой.

  Такое расположение возникает, когда расстояние между центрами меньше, чем разность радиусов. В этом случае у окружностей нет общих точек. Отдельный подслучай — концентрические окружности, когда их центры совпадают ($d = 0$).

  Математическое условие: $d < R - r$.

  Ответ: Окружности не имеют общих точек.

Общие выводы:

Число общих точек двух окружностей зависит от соотношения между расстоянием между их центрами $d$ и радиусами $R$ и $r$ ($R \ge r$):

• Две общие точки, если $R - r < d < R + r$.
• Одна общая точка (касание), если $d = R + r$ (внешнее) или $d = R - r$ (внутреннее).
• Нет общих точек, если $d > R + r$ (одна вне другой) или $d < R - r$ (одна внутри другой).