Номер 19, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 19, страница 245.

Условие.

19 Что такое угловой коэффициент прямой?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Угловой коэффициент прямой — это числовая характеристика, которая показывает наклон данной прямой относительно положительного направления оси абсцисс ($Ox$) в прямоугольной системе координат. Угловой коэффициент обычно обозначается буквой $k$. Он показывает, на сколько единиц изменяется координата $y$ при изменении координаты $x$ на одну единицу.

Угловой коэффициент можно определить и найти несколькими способами:

1. Через уравнение прямой. Если уравнение прямой представлено в виде $y = kx + b$ (это так называемое уравнение прямой с угловым коэффициентом), то число $k$ и является угловым коэффициентом. Например, в уравнении $y = 3x - 5$ угловой коэффициент $k=3$, а в уравнении $y = -0.5x + 2$ угловой коэффициент $k=-0.5$.
2. Через угол наклона (геометрический смысл). Угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $Ox$. Угол отсчитывается против часовой стрелки.
   $k = \tan(\alpha)$
   Из этого определения следуют важные свойства:
   • Если $k > 0$, то угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), и функция, описываемая прямой, возрастает.
   • Если $k < 0$, то угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), и функция убывает.
   • Если $k = 0$, то прямая горизонтальна (параллельна оси $Ox$), и $\alpha = 0^\circ$.
   • Для вертикальной прямой (параллельной оси $Oy$) угол $\alpha = 90^\circ$. Тангенс этого угла не определен, поэтому говорят, что угловой коэффициент такой прямой не существует.
3. Через координаты двух точек. Если известны координаты двух любых точек на прямой, $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то угловой коэффициент можно вычислить как отношение изменения координаты $y$ (приращение по вертикали) к изменению координаты $x$ (приращение по горизонтали):
   $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Таким образом, угловой коэффициент показывает, насколько круто прямая идет вверх или вниз. Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем "круче" наклон прямой.

Ответ: Угловой коэффициент прямой — это число, характеризующее её наклон. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси $Ox$, является коэффициентом $k$ в уравнении прямой вида $y = kx + b$, и может быть вычислен как отношение разности ординат двух точек прямой к разности их абсцисс.