Номер 15, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 15, страница 244.

Условие.

15 Какое уравнение называется уравнением данной линии?

Приведите пример.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какое уравнение называется уравнением данной линии?

Уравнением данной линии (или кривой) в заданной системе координат называется такое уравнение с двумя переменными (например, $x$ и $y$), которому удовлетворяют координаты каждой точки, принадлежащей этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.

Формально, уравнение $F(x, y) = 0$ является уравнением линии $L$, если выполняются два условия:

1. Для любой точки $M(x_0, y_0)$, принадлежащей линии $L$, ее координаты $(x_0, y_0)$ обращают уравнение в верное равенство: $F(x_0, y_0) = 0$.
2. Для любой точки $N(x_1, y_1)$, не принадлежащей линии $L$, ее координаты $(x_1, y_1)$ не удовлетворяют уравнению: $F(x_1, y_1) \neq 0$.

Таким образом, линия представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: Уравнением данной линии называется уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Приведите пример.

Рассмотрим в качестве примера уравнение окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R$.

По определению, окружность — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до центра равно радиусу $R$. Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка на этой окружности. Расстояние от точки $M$ до начала координат вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

Так как точка $M$ лежит на окружности, ее расстояние до центра равно $R$, то есть $d=R$. Отсюда получаем:

$\sqrt{x^2 + y^2} = R$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем каноническое уравнение окружности:

$x^2 + y^2 = R^2$

Это уравнение является уравнением данной окружности, так как:

• Координаты любой точки на этой окружности удовлетворяют этому уравнению. Например, точка $(R, 0)$ лежит на окружности, и ее координаты удовлетворяют уравнению: $R^2 + 0^2 = R^2$.
• Координаты любой точки, не лежащей на окружности, не удовлетворяют ему. Например, точка $(0, 0)$ (центр) не лежит на окружности (при $R \neq 0$), и ее координаты не удовлетворяют уравнению: $0^2 + 0^2 = 0 \neq R^2$.

Например, уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5 имеет вид $x^2 + y^2 = 25$.

Ответ: Примером уравнения линии является уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $R$: $x^2 + y^2 = R^2$.