Номер 11, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 11, страница 244.

Условие.

11 Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат задан отрезок AB. Координаты его концов — точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Пусть точка $C(x_c, y_c)$ является серединой этого отрезка. Наша задача — выразить координаты $x_c$ и $y_c$ через координаты концов отрезка $x_1, y_1, x_2, y_2$.

Для вывода формул воспользуемся методом проекций, который основан на теореме Фалеса.

Вывод формулы для абсциссы (координаты x) середины отрезка

1. Спроецируем точки A, C и B на ось абсцисс (ось Ox). Получим точки $A_x$, $C_x$ и $B_x$ соответственно. Их координаты будут $A_x(x_1, 0)$, $C_x(x_c, 0)$ и $B_x(x_2, 0)$.

2. Прямые $AA_x$, $CC_x$ и $BB_x$ перпендикулярны оси Ox, а значит, параллельны друг другу. Эти три параллельные прямые пересекают две прямые: прямую, содержащую отрезок AB, и ось Ox.

3. По определению, точка C является серединой отрезка AB, следовательно, она делит его на два равных отрезка: $AC = CB$.

4. Согласно обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые пересекают две произвольные прямые, то они отсекают на них пропорциональные отрезки. Поскольку $AC = CB$ (отношение 1:1), то и на оси Ox отсекаются пропорциональные (а в данном случае равные) отрезки: $A_x C_x = C_x B_x$.

5. Это означает, что точка $C_x$ является серединой отрезка $A_x B_x$ на оси Ox. Координата середины отрезка на числовой прямой равна полусумме координат его концов. Следовательно, абсцисса точки $C_x$ (и, соответственно, точки C) равна:
$x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Вывод формулы для ординаты (координаты y) середины отрезка

1. Аналогично, спроецируем точки A, C и B на ось ординат (ось Oy). Получим точки $A_y$, $C_y$ и $B_y$ с координатами $A_y(0, y_1)$, $C_y(0, y_c)$ и $B_y(0, y_2)$.

2. Прямые $AA_y$, $CC_y$ и $BB_y$ перпендикулярны оси Oy и, следовательно, параллельны друг другу.

3. Так как точка C — середина отрезка AB ($AC = CB$), то по той же теореме Фалеса проекция точки C на ось Oy (точка $C_y$) будет серединой проекции отрезка AB на эту же ось (отрезка $A_y B_y$). Таким образом, $A_y C_y = C_y B_y$.

4. Координата середины отрезка на числовой прямой (в данном случае на оси Oy) равна полусумме координат его концов. Следовательно, ордината точки $C_y$ (и точки C) равна:
$y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Таким образом, мы получили искомые формулы. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Этот принцип справедлив для пространства любой размерности.

Ответ: Если заданы концы отрезка $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, то координаты его середины $C(x_c, y_c)$ вычисляются по формулам:
$x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$