Номер 18, страница 245 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 18, страница 245.

Условие.

18 Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Уравнение прямой в прямоугольной системе координат — это уравнение, связывающее координаты $x$ и $y$ всех точек, принадлежащих этой прямой. Вид уравнения зависит от того, какие параметры прямой известны. Рассмотрим основные способы вывода уравнения прямой.

1. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть в прямоугольной системе координат даны две различные точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, через которые проходит прямая. Возьмем на этой прямой произвольную (текущую) точку $M(x, y)$.

Рассмотрим векторы $\vec{M_1M}$ и $\vec{M_1M_2}$. Так как точки $M_1$, $M_2$ и $M$ лежат на одной прямой, эти векторы коллинеарны. Координаты векторов равны:

$\vec{M_1M} = (x - x_1, y - y_1)$

$\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

Условие коллинеарности двух векторов заключается в пропорциональности их соответствующих координат:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Это каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки. Если какой-либо из знаменателей равен нулю (например, $x_2 - x_1 = 0$), то для выполнения условия пропорциональности необходимо, чтобы и соответствующий числитель был равен нулю (т.е. $x - x_1 = 0$). Таким образом, если $x_1 = x_2$, уравнение прямой будет $x = x_1$ (вертикальная прямая). Если $y_1 = y_2$, уравнение прямой будет $y = y_1$ (горизонтальная прямая).

Ответ: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Это уравнение вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Выведем это уравнение из канонического, при условии, что прямая не вертикальна ($x_1 \neq x_2$):

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)$

Величина $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ называется угловым коэффициентом прямой. Геометрически $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс ($Ox$): $k = \tan{\alpha}$.

Подставив $k$, получаем уравнение прямой, проходящей через точку $(x_1, y_1)$ с угловым коэффициентом $k$:

$y - y_1 = k(x - x_1)$

Раскроем скобки и выразим $y$:

$y = kx - kx_1 + y_1$

Обозначим свободный член как $b = y_1 - kx_1$. Это значение $y$ при $x=0$, то есть ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. В итоге получаем искомое уравнение.

Ответ: $y = kx + b$

3. Общее уравнение прямой.

Любое уравнение первой степени с двумя переменными $x$ и $y$ задает на плоскости прямую. Такое уравнение имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$, $C$ — некоторые числа, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно ($A^2 + B^2 \neq 0$).

Это уравнение можно получить из канонического уравнения, используя основное свойство пропорции:

$(x - x_1)(y_2 - y_1) = (y - y_1)(x_2 - x_1)$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$x(y_2 - y_1) - x_1(y_2 - y_1) - y(x_2 - x_1) + y_1(x_2 - x_1) = 0$

$(y_2 - y_1)x - (x_2 - x_1)y + (y_1(x_2 - x_1) - x_1(y_2 - y_1)) = 0$

Обозначив коэффициенты: $A = y_2 - y_1$, $B = -(x_2 - x_1) = x_1 - x_2$, $C = x_2y_1 - x_1y_2$, получим общее уравнение прямой. Вектор $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным (перпендикулярным) вектором к данной прямой.

Ответ: $Ax + By + C = 0$

4. Уравнение прямой в отрезках.

Если прямая пересекает оси координат в точках $(a, 0)$ и $(0, b)$, где $a \neq 0$ и $b \neq 0$, ее уравнение можно записать в виде уравнения в отрезках.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $(a, 0)$ и $(0, b)$:

$\frac{x - a}{0 - a} = \frac{y - 0}{b - 0}$

$\frac{x - a}{-a} = \frac{y}{b}$

Разделим левую часть почленно:

$\frac{x}{-a} - \frac{a}{-a} = \frac{y}{b}$

$-\frac{x}{a} + 1 = \frac{y}{b}$

Перенесем слагаемое с $x$ в правую часть:

$1 = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}$

Здесь $a$ и $b$ — длины отрезков (с учетом знака), отсекаемых прямой на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно, считая от начала координат.

Ответ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$