Номер 16, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 16, страница 244.

Условие.

16 Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Окружностью называется множество всех точек на плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра).

Пусть центр окружности находится в точке $C$ с координатами $(x_0, y_0)$, а радиус окружности равен $R$, где $R > 0$.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка, лежащая на этой окружности. По определению окружности, расстояние от точки $M$ до центра $C$ равно радиусу $R$. Обозначим это расстояние как $|CM|$. Таким образом, $|CM| = R$.

Расстояние между двумя точками $C(x_0, y_0)$ и $M(x, y)$ в прямоугольной системе координат вычисляется по формуле:

$|CM| = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$

Приравнивая это выражение к радиусу $R$, получаем:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = R$

Чтобы получить каноническое уравнение окружности, возведем обе части этого равенства в квадрат. Поскольку расстояние и радиус — неотрицательные величины, данное преобразование является равносильным.

$(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})^2 = R^2$

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Полученное уравнение и является уравнением окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$. Оно устанавливает связь между координатами $x$ и $y$ любой точки, принадлежащей данной окружности.

Ответ: Уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.