Номер 12, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 12, страница 244.

Условие.

12 Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для вывода формулы длины вектора по его координатам рассмотрим вектор, отложенный от начала координат. Длина (или модуль) такого вектора равна расстоянию от начала координат до точки, соответствующей его концу. Это расстояние можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Сначала рассмотрим вектор $ \vec{a} $ на плоскости, заданный своими координатами $ \vec{a}\{x; y\} $. Отложим его от начала координат $ O(0; 0) $ до точки $ A(x; y) $. Длина вектора, обозначаемая как $ |\vec{a}| $, равна длине отрезка $ OA $.

Проекции точки $ A $ на оси координат — это точки $ A_x(x; 0) $ и $ A_y(0; y) $. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle OA_xA $. Его катеты $ OA_x $ и $ A_xA $ имеют длины $ |x| $ и $ |y| $ соответственно. Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы $ OA $ равен сумме квадратов длин катетов:

$ OA^2 = OA_x^2 + A_xA^2 $

Подставляя значения длин, получаем:

$ |\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 $

Отсюда формула для длины вектора на плоскости:

$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $

Теперь обобщим этот результат для вектора $ \vec{a} $ в трехмерном пространстве с координатами $ \vec{a}\{x; y; z\} $. Отложим его от начала координат $ O(0; 0; 0) $ до точки $ A(x; y; z) $. Длина вектора $ |\vec{a}| $ равна длине отрезка $ OA $, который является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на осях координат с противоположной вершиной в точке $ A $.

Сначала найдем квадрат длины диагонали $ d $ основания этого параллелепипеда, лежащего в плоскости $ Oxy $. Эта диагональ соединяет точки $ O(0; 0; 0) $ и $ A_{xy}(x; y; 0) $. По уже выведенной формуле для плоскости:

$ d^2 = x^2 + y^2 $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle OA_{xy}A $. Его катетами являются диагональ основания $ OA_{xy} $ (длиной $ d $) и ребро параллелепипеда $ A_{xy}A $ (длиной $ |z| $). Гипотенузой является сам отрезок $ OA $. Снова применяем теорему Пифагора:

$ OA^2 = OA_{xy}^2 + A_{xy}A^2 $

$ |\vec{a}|^2 = d^2 + z^2 $

Подставляя выражение для $ d^2 $, получаем:

$ |\vec{a}|^2 = (x^2 + y^2) + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 $

Извлекая квадратный корень, находим формулу для длины вектора в пространстве:

$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $

Таким образом, мы вывели общую закономерность: длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Ответ: Формула для вычисления длины (модуля) вектора $ \vec{a} $ по его координатам — это квадратный корень из суммы квадратов его координат. Для вектора на плоскости $ \vec{a}\{x; y\} $ формула выглядит так: $ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $. Для вектора в пространстве $ \vec{a}\{x; y; z\} $ формула такова: $ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} $.