Номер 10, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 10, страница 244.

Условие.

10 Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Чтобы вывести формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца, рассмотрим вектор $\vec{AB}$ в прямоугольной системе координат.

Пусть нам даны две точки:

• $A(x_1, y_1, z_1)$ — начальная точка вектора (его начало).
• $B(x_2, y_2, z_2)$ — конечная точка вектора (его конец).

Положение точек $A$ и $B$ можно определить с помощью радиус-векторов, отложенных от начала координат $O(0, 0, 0)$. Радиус-вектор точки $A$ — это вектор $\vec{OA}$, а радиус-вектор точки $B$ — это вектор $\vec{OB}$. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конечной точки:

$\vec{OA} = \{x_1, y_1, z_1\}$

$\vec{OB} = \{x_2, y_2, z_2\}$

Векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{AB}$ образуют треугольник $OAB$. Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), мы можем записать следующее равенство:

$\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$

Из этого равенства мы можем выразить искомый вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

Вычитание векторов выполняется покоординатно. Это означает, что для нахождения каждой координаты вектора $\vec{AB}$ необходимо из соответствующей координаты вектора $\vec{OB}$ вычесть соответствующую координату вектора $\vec{OA}$.

Если координаты вектора $\vec{AB}$ обозначить как $\{v_x, v_y, v_z\}$, то получим следующие формулы:

$v_x = x_2 - x_1$

$v_y = y_2 - y_1$

$v_z = z_2 - z_1$

Таким образом, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Для двумерного случая (на плоскости), если даны точки $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, формулы аналогичны, но без третьей координаты:

$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$

Ответ: Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами его начальной точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точки $B(x_2, y_2, z_2)$, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Формулы для координат вектора $\vec{AB} = \{v_x, v_y, v_z\}$ имеют вид: $v_x = x_2 - x_1$, $v_y = y_2 - y_1$, $v_z = z_2 - z_1$.