Номер 3, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 3, страница 244.

Условие.

3 Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам на этой плоскости, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Более формально: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то любой вектор $\vec{c}$, компланарный им (лежащий в той же плоскости), может быть представлен в виде $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа, причём эта пара чисел $(x, y)$ единственна.

Доказательство

Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такого разложения и доказательства его единственности.

1. Существование разложения.

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и произвольный вектор $\vec{c}$. Отложим все три вектора от одной точки $O$: $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$ и $\vec{c} = \vec{OC}$.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны, то прямые $OA$ и $OB$ пересекаются в точке $O$. Проведём через точку $C$ прямую, параллельную прямой $OB$. Пусть она пересекает прямую $OA$ в точке $A_1$. Аналогично, проведём через точку $C$ прямую, параллельную прямой $OA$. Пусть она пересекает прямую $OB$ в точке $B_1$.

По построению четырёхугольник $OA_1CB_1$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов имеем:$\vec{OC} = \vec{OA_1} + \vec{OB_1}$.

Вектор $\vec{OA_1}$ лежит на прямой $OA$, следовательно, он коллинеарен вектору $\vec{a} = \vec{OA}$. Это означает, что существует такое число $x$, что $\vec{OA_1} = x\vec{a}$.

Аналогично, вектор $\vec{OB_1}$ лежит на прямой $OB$, следовательно, он коллинеарен вектору $\vec{b} = \vec{OB}$. Это означает, что существует такое число $y$, что $\vec{OB_1} = y\vec{b}$.

Подставив эти выражения в равенство для $\vec{OC}$, получаем:$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. Таким образом, мы показали, что такое разложение существует.

2. Единственность разложения.

Предположим, что существует другое разложение вектора $\vec{c}$ по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с другими коэффициентами $x_1$ и $y_1$:$\vec{c} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}$.

Приравняем два выражения для вектора $\vec{c}$:$x\vec{a} + y\vec{b} = x_1\vec{a} + y_1\vec{b}$.

Перегруппируем слагаемые:$x\vec{a} - x_1\vec{a} = y_1\vec{b} - y\vec{b}$$(x - x_1)\vec{a} = (y_1 - y)\vec{b}$.

По условию теоремы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны. Равенство $(x - x_1)\vec{a} = (y_1 - y)\vec{b}$ для неколлинеарных векторов возможно только в том случае, когда оба коэффициента равны нулю. Действительно, если предположить, что $x - x_1 \neq 0$, то из равенства можно выразить $\vec{a}$:$\vec{a} = \frac{y_1 - y}{x - x_1}\vec{b}$. Это равенство означает, что вектор $\vec{a}$ является произведением вектора $\vec{b}$ на число, то есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверно, и коэффициент при $\vec{a}$ должен быть равен нулю:$x - x_1 = 0$, откуда $x = x_1$.

Подставив $x - x_1 = 0$ в равенство $(x - x_1)\vec{a} = (y_1 - y)\vec{b}$, получаем:$0 \cdot \vec{a} = (y_1 - y)\vec{b}$$\vec{0} = (y_1 - y)\vec{b}$.

Так как вектор $\vec{b}$ по условию не является нулевым (иначе он был бы коллинеарен любому вектору), это равенство выполняется только тогда, когда коэффициент при $\vec{b}$ равен нулю:$y_1 - y = 0$, откуда $y_1 = y$.

Таким образом, мы доказали, что $x = x_1$ и $y = y_1$, что означает единственность коэффициентов разложения. Теорема полностью доказана.

Ответ: Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам сформулирована и доказана. Формулировка: любой вектор $\vec{c}$ на плоскости можно единственным образом представить в виде линейной комбинации $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — два неколлинеарных вектора на той же плоскости, а $x$ и $y$ — единственная пара чисел (коэффициентов разложения). Доказательство включает два шага: доказательство существования разложения (геометрически, на основе правила параллелограмма) и доказательство его единственности (методом от противного, используя определение неколлинеарных векторов).