Номер 986, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 986, страница 244.

Условие.

986 Дан прямоугольник $ABCD$. Найдите множество всех точек $M$, для каждой из которых

$(AM^2 + DM^2) - (BM^2 + CM^2) = 2AB^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину A прямоугольника ABCD. Направим ось Ox вдоль стороны AB, а ось Oy — вдоль стороны AD. Пусть длина стороны $AB = a$ и длина стороны $AD = b$. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, b)
• D(0, b)

Пусть точка M имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Теперь найдем квадраты расстояний от точки M до каждой из вершин прямоугольника, используя формулу квадрата расстояния между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

• $AM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
• $DM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
• $BM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - a)^2 + y^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
• $CM^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$

Длина стороны AB равна $a$, поэтому $AB^2 = a^2$.

Подставим эти выражения в данное в условии равенство:

$(AM^2 + DM^2) - (BM^2 + CM^2) = 2AB^2$

$( (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2) ) - ( (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) ) = 2a^2$

Сгруппируем слагаемые в каждой скобке:

$(2x^2 + 2y^2 - 2by + b^2) - (2x^2 - 4ax + 2a^2 + 2y^2 - 2by + b^2) = 2a^2$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$2x^2 + 2y^2 - 2by + b^2 - 2x^2 + 4ax - 2a^2 - 2y^2 + 2by - b^2 = 2a^2$

Многие слагаемые взаимно уничтожаются:

$(2x^2 - 2x^2) + (2y^2 - 2y^2) + (-2by + 2by) + (b^2 - b^2) + 4ax - 2a^2 = 2a^2$

В результате упрощения получаем:

$4ax - 2a^2 = 2a^2$

Перенесем $-2a^2$ в правую часть уравнения:

$4ax = 4a^2$

Так как ABCD — прямоугольник, его сторона AB имеет ненулевую длину, то есть $a \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $4a$:

$x = a$

Уравнение $x = a$ задает в выбранной системе координат прямую, которая параллельна оси Oy и проходит через точку с абсциссой $a$. В нашей системе координат точки B(a, 0) и C(a, b) лежат на этой прямой. Следовательно, искомое множество точек M — это прямая, содержащая сторону BC прямоугольника.

Ответ: Искомым множеством точек M является прямая, содержащая сторону BC прямоугольника ABCD.