Номер 980, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 980, страница 242.

Условие.

980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, диагонали ромба лежат на осях координат. Это означает, что центр ромба находится в начале координат, точке $O(0, 0)$, а его вершины лежат на осях Ox и Oy.

Длины диагоналей равны 10 см и 4 см. Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то половины диагоналей будут равны $10/2 = 5$ см и $4/2 = 2$ см. Эти значения представляют собой расстояния от начала координат до вершин ромба.

Поскольку в условии не указано, какая из диагоналей на какой оси лежит, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Большая диагональ (длиной 10) лежит на оси Ox, а меньшая (длиной 4) — на оси Oy.
В этом случае координаты вершин ромба будут: $A(5, 0)$, $C(-5, 0)$, $B(0, 2)$ и $D(0, -2)$.
Для нахождения уравнений прямых, содержащих стороны ромба, можно воспользоваться уравнением прямой в отрезках, которая отсекает на осях координат отрезки $a$ и $b$: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.
- Прямая, проходящая через вершины $A(5, 0)$ и $B(0, 2)$: $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $2x + 5y = 10$ или $2x + 5y - 10 = 0$.
- Прямая, проходящая через вершины $B(0, 2)$ и $C(-5, 0)$: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{2} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $-2x + 5y = 10$ или $2x - 5y + 10 = 0$.
- Прямая, проходящая через вершины $C(-5, 0)$ и $D(0, -2)$: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{-2} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $-2x - 5y = 10$ или $2x + 5y + 10 = 0$.
- Прямая, проходящая через вершины $D(0, -2)$ и $A(5, 0)$: $\frac{x}{5} + \frac{y}{-2} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $2x - 5y = 10$ или $2x - 5y - 10 = 0$.
Ответ: $2x + 5y - 10 = 0$; $2x - 5y + 10 = 0$; $2x + 5y + 10 = 0$; $2x - 5y - 10 = 0$.

Случай 2: Меньшая диагональ (длиной 4) лежит на оси Ox, а большая (длиной 10) — на оси Oy.
В этом случае координаты вершин ромба будут: $A(2, 0)$, $C(-2, 0)$, $B(0, 5)$ и $D(0, -5)$.
- Прямая, проходящая через вершины $A(2, 0)$ и $B(0, 5)$: $\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $5x + 2y = 10$ или $5x + 2y - 10 = 0$.
- Прямая, проходящая через вершины $B(0, 5)$ и $C(-2, 0)$: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{5} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $-5x + 2y = 10$ или $5x - 2y + 10 = 0$.
- Прямая, проходящая через вершины $C(-2, 0)$ и $D(0, -5)$: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{-5} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $-5x - 2y = 10$ или $5x + 2y + 10 = 0$.
- Прямая, проходящая через вершины $D(0, -5)$ и $A(2, 0)$: $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$. Умножив обе части на 10, получим $5x - 2y = 10$ или $5x - 2y - 10 = 0$.
Ответ: $5x + 2y - 10 = 0$; $5x - 2y + 10 = 0$; $5x + 2y + 10 = 0$; $5x - 2y - 10 = 0$.