Номер 974, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 974, страница 241.

Условие.

974 Даны координаты вершин трапеции $ABCD$: $A (-2; -2)$, $B (-3; 1)$, $C (7; 7)$ и $D (3; 1)$. Напишите уравнения прямых, содержащих:

а) диагонали $AC$ и $BD$ трапеции;

б) среднюю линию трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Для нахождения уравнений прямых, содержащих диагонали, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Уравнение прямой AC:

Диагональ AC проходит через точки A(-2; -2) и C(7; 7). Подставим их координаты в формулу:

$\frac{x - (-2)}{7 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{7 - (-2)}$

$\frac{x + 2}{9} = \frac{y + 2}{9}$

Умножив обе части на 9, получаем:

$x + 2 = y + 2$

$y = x$ или $x - y = 0$.

Уравнение прямой BD:

Диагональ BD проходит через точки B(-3; 1) и D(3; 1). Заметим, что ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы и равны 1. Это означает, что прямая BD горизонтальна.

Уравнение горизонтальной прямой, проходящей через точки с ординатой $c$, имеет вид $y = c$.

В данном случае уравнение прямой BD: $y = 1$.

Ответ: Уравнение прямой AC: $x - y = 0$; уравнение прямой BD: $y = 1$.

б)

Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. Сначала определим, какие стороны являются основаниями, найдя их угловые коэффициенты. Параллельные стороны будут основаниями.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

$k_{AD} = \frac{1 - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{3}{5}$

$k_{BC} = \frac{7 - 1}{7 - (-3)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Так как угловые коэффициенты $k_{AD}$ и $k_{BC}$ равны, стороны AD и BC параллельны и являются основаниями трапеции. Следовательно, боковыми сторонами являются AB и CD.

Теперь найдем координаты середин боковых сторон. Координаты середины отрезка с концами $(x_A, y_A)$ и $(x_B, y_B)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Координаты середины M стороны AB:

$x_M = \frac{-2 + (-3)}{2} = -\frac{5}{2}$

$y_M = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2}$

Точка M имеет координаты $(-\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})$.

Координаты середины N стороны CD:

$x_N = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_N = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Точка N имеет координаты $(5; 4)$.

Средняя линия проходит через точки M и N. Напишем уравнение этой прямой. Сначала найдем ее угловой коэффициент $k_{MN}$:

$k_{MN} = \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{4 - (-\frac{1}{2})}{5 - (-\frac{5}{2})} = \frac{4.5}{7.5} = \frac{45}{75} = \frac{3}{5}$

Теперь воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку N(5; 4): $y - y_N = k_{MN}(x - x_N)$.

$y - 4 = \frac{3}{5}(x - 5)$

$y - 4 = \frac{3}{5}x - 3$

$y = \frac{3}{5}x + 1$

Чтобы получить уравнение в общем виде, умножим обе части на 5:

$5y = 3x + 5$

$3x - 5y + 5 = 0$

Ответ: $3x - 5y + 5 = 0$ (или $y = \frac{3}{5}x + 1$).