Номер 972, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 972, страница 241.

Условие.

972 Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) A (1; –1) и B (–3; 2); б) C (2; 5) и D (5; 2); в) M (0; 1) и N (–4; –5).

Решение

а) Уравнение прямой AB имеет вид $ax + by + c = 0$. Так как точки A и B лежат на прямой AB, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

$a \cdot 1 + b \cdot (-1) + c = 0, a \cdot (-3) + b \cdot 2 + c = 0,$

или $a - b + c = 0, -3a + 2b + c = 0.$

Из этих уравнений выразим коэффициенты a и b через c:

$a = 3c, b = 4c$. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим $3cx + 4cy + c = 0$. При любом $c \neq 0$ это уравнение является уравнением прямой $AB$. Сократив на $c$, запишем искомое уравнение в виде $3x + 4y + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

После преобразований это уравнение приводится к общему виду $Ax + By + C = 0$.

а) A(1; -1) и B(-3; 2)

Подставим координаты точек A ($x_1=1, y_1=-1$) и B ($x_2=-3, y_2=2$) в каноническое уравнение:

$\frac{x - 1}{-3 - 1} = \frac{y - (-1)}{2 - (-1)}$

$\frac{x - 1}{-4} = \frac{y + 1}{3}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3(x - 1) = -4(y + 1)$

Раскроем скобки:

$3x - 3 = -4y - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить общий вид:

$3x + 4y - 3 + 4 = 0$

$3x + 4y + 1 = 0$

Ответ: $3x + 4y + 1 = 0$.

б) C(2; 5) и D(5; 2)

Подставим координаты точек C ($x_1=2, y_1=5$) и D ($x_2=5, y_2=2$) в каноническое уравнение:

$\frac{x - 2}{5 - 2} = \frac{y - 5}{2 - 5}$

$\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 5}{-3}$

Умножим обе части уравнения на 3:

$x - 2 = -(y - 5)$

Раскроем скобки:

$x - 2 = -y + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x + y - 2 - 5 = 0$

$x + y - 7 = 0$

Ответ: $x + y - 7 = 0$.

в) M(0; 1) и N(-4; -5)

Подставим координаты точек M ($x_1=0, y_1=1$) и N ($x_2=-4, y_2=-5$) в каноническое уравнение:

$\frac{x - 0}{-4 - 0} = \frac{y - 1}{-5 - 1}$

$\frac{x}{-4} = \frac{y - 1}{-6}$

Используем основное свойство пропорции:

$-6x = -4(y - 1)$

Разделим обе части уравнения на -2:

$3x = 2(y - 1)$

Раскроем скобки:

$3x = 2y - 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$3x - 2y + 2 = 0$

Ответ: $3x - 2y + 2 = 0$.