Номер 969, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 969, страница 241.

Условие.

969 Напишите уравнение окружности с диаметром $MN$, если:

a) $M (-3; 5)$, $N (7; -3)$;

б) $M (2; -1)$, $N (4; 3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Уравнение окружности в общем виде имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.

Поскольку отрезок $MN$ является диаметром окружности, её центр находится в середине этого отрезка, а радиус равен половине его длины.

а) $M (-3; 5)$, $N (7; -3)$

1. Найдём координаты центра окружности $C(a; b)$ как координаты середины отрезка $MN$:
$a = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$b = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, центр окружности находится в точке $C(2; 1)$.

2. Найдём квадрат радиуса окружности. Радиус $r$ равен расстоянию от центра $C$ до любой из точек на окружности, например, до точки $M$.
$r^2 = (x_M - a)^2 + (y_M - b)^2 = (-3 - 2)^2 + (5 - 1)^2 = (-5)^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41$

3. Подставим координаты центра $C(2; 1)$ и значение $r^2 = 41$ в общее уравнение окружности:
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$

Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$

б) $M (2; -1)$, $N (4; 3)$

1. Найдём координаты центра окружности $C(a; b)$ как координаты середины отрезка $MN$:
$a = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$b = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, центр окружности находится в точке $C(3; 1)$.

2. Найдём квадрат радиуса окружности как квадрат расстояния от центра $C$ до точки $M$:
$r^2 = (x_M - a)^2 + (y_M - b)^2 = (2 - 3)^2 + (-1 - 1)^2 = (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$

3. Подставим координаты центра $C(3; 1)$ и значение $r^2 = 5$ в общее уравнение окружности:
$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$