Номер 971, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 971, страница 241.

Условие.

971 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки $A (-3; 0)$ и $B (0; 9)$, если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию, центр окружности лежит на оси ординат, следовательно, его абсцисса $a = 0$. Пусть центр окружности — это точка $C(0; b)$. Тогда уравнение окружности принимает вид:

$x^2 + (y - b)^2 = R^2$

Окружность проходит через точки $A(-3; 0)$ и $B(0; 9)$. Подставим координаты этих точек в уравнение окружности, чтобы получить систему уравнений для нахождения $b$ и $R$.

Для точки $A(-3; 0)$:

$(-3)^2 + (0 - b)^2 = R^2$

$9 + b^2 = R^2$

Для точки $B(0; 9)$:

$0^2 + (9 - b)^2 = R^2$

$(9 - b)^2 = R^2$

Так как левые части обоих уравнений равны $R^2$, мы можем их приравнять:

$9 + b^2 = (9 - b)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$9 + b^2 = 81 - 18b + b^2$

Перенесем слагаемые и решим уравнение относительно $b$:

$18b = 81 - 9$

$18b = 72$

$b = \frac{72}{18}$

$b = 4$

Таким образом, центр окружности находится в точке $C(0; 4)$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив значение $b=4$ в любое из полученных ранее уравнений. Возьмем первое:

$R^2 = 9 + b^2 = 9 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Итак, мы нашли координаты центра $(0; 4)$ и квадрат радиуса $R^2 = 25$. Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$x^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ответ: $x^2 + (y - 4)^2 = 25$