Номер 970, страница 241 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 970, страница 241.

Условие.

970 Напишите уравнение окружности, проходящей через точку $A(1; 3)$, если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен $R=5$. Сколько существует таких окружностей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

По условию задачи, радиус окружности $R = 5$, следовательно, $R^2 = 25$.
Также известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс. Это означает, что ордината центра равна нулю, то есть $b = 0$.
Таким образом, центр окружности имеет координаты $(a; 0)$, а уравнение окружности принимает вид:
$(x - a)^2 + y^2 = 25$

Окружность проходит через точку $A(1; 3)$. Чтобы найти значение $a$, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:
$(1 - a)^2 + 3^2 = 25$
$(1 - a)^2 + 9 = 25$
$(1 - a)^2 = 25 - 9$
$(1 - a)^2 = 16$

Из этого уравнения следует, что существуют два возможных значения для $a$:
1) $1 - a = 4$
$a_1 = 1 - 4 = -3$

2) $1 - a = -4$
$a_2 = 1 - (-4) = 5$

Мы получили два возможных значения для абсциссы центра окружности, $a_1 = -3$ и $a_2 = 5$. Это означает, что существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Для центра $C_1(-3; 0)$ уравнение окружности:
$(x - (-3))^2 + y^2 = 25 \implies (x + 3)^2 + y^2 = 25$

2. Для центра $C_2(5; 0)$ уравнение окружности:
$(x - 5)^2 + y^2 = 25$

Ответ: Существует две такие окружности. Их уравнения: $(x + 3)^2 + y^2 = 25$ и $(x - 5)^2 + y^2 = 25$.