Номер 981, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 981, страница 242.

Условие.

Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

981 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289, а. Тогда точки А и В имеют координаты А $(0; 0)$, В $(a; 0)$, где $a = AB$.

Найдём расстояния от произвольной точки M $(x; y)$ до точек А и В:

$AM = \sqrt{x^2 + y^2}$,

$BM = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}$.

Если точка M $(x; y)$ принадлежит искомому множеству, то

$AM = 2BM$, или $AM^2 = 4BM^2$.

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

$x^2 + y^2 = 4 ((x - a)^2 + y^2)$. (8)

Если же точка M не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

$(x - \frac{4}{3}a)^2 + y^2 = (\frac{2}{3}a)^2$.

Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса $\frac{2}{3}a$ с центром в точке $C (\frac{4}{3}a; 0)$. Эта окружность изображена на рисунке 289, б.

Замечание

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек M, удовлетворяющих условию $AM = kBM$, где $k$ - данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса $\frac{ka}{|k^2 - 1|}$ с центром в точке $(\frac{k^2a}{k^2 - 1}; 0)$.

Эти окружности, соответствующие различным значениям $k \ne 1$, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если $k = 1$, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.