Номер 981, страница 242 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 981, страница 242.

Условие.

Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

981 Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

Решение

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289, а. Тогда точки А и В имеют координаты А $(0; 0)$, В $(a; 0)$, где $a = AB$.

Найдём расстояния от произвольной точки M $(x; y)$ до точек А и В:

$AM = \sqrt{x^2 + y^2}$,

$BM = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}$.

Если точка M $(x; y)$ принадлежит искомому множеству, то

$AM = 2BM$, или $AM^2 = 4BM^2$.

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

$x^2 + y^2 = 4 ((x - a)^2 + y^2)$. (8)

Если же точка M не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

$(x - \frac{4}{3}a)^2 + y^2 = (\frac{2}{3}a)^2$.

Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса $\frac{2}{3}a$ с центром в точке $C (\frac{4}{3}a; 0)$. Эта окружность изображена на рисунке 289, б.

Замечание

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек M, удовлетворяющих условию $AM = kBM$, где $k$ - данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса $\frac{ka}{|k^2 - 1|}$ с центром в точке $(\frac{k^2a}{k^2 - 1}; 0)$.

Эти окружности, соответствующие различным значениям $k \ne 1$, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если $k = 1$, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 9.

Решение 10.

Решение

Введем прямоугольную систему координат, расположив точки на оси абсцисс. Пусть точка A совпадает с началом координат, A(0; 0), а точка B имеет координаты B(a; 0), где $a$ — это расстояние между точками A и B. Пусть M(x; y) — произвольная точка, принадлежащая искомому множеству.

Расстояние от точки M до точки A вычисляется по формуле: $AM = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Расстояние от точки M до точки B вычисляется по формуле: $BM = \sqrt{(x - a)^2 + y^2}$.

По условию задачи, расстояние от точки A в два раза больше расстояния от точки B. Это можно записать в виде уравнения: $AM = 2BM$.

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат: $AM^2 = 4BM^2$.

Подставим выражения для квадратов расстояний:

$x^2 + y^2 = 4((x - a)^2 + y^2)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x^2 + y^2 = 4(x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4x^2 - 8ax + 4a^2 + 4y^2$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$3x^2 - 8ax + 4a^2 + 3y^2 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 - \frac{8}{3}ax + \frac{4}{3}a^2 + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{3}a + (\frac{4}{3}a)^2) - (\frac{4}{3}a)^2 + \frac{4}{3}a^2 + y^2 = 0$

$(x - \frac{4}{3}a)^2 - \frac{16}{9}a^2 + \frac{12}{9}a^2 + y^2 = 0$

$(x - \frac{4}{3}a)^2 + y^2 - \frac{4}{9}a^2 = 0$

В итоге получаем каноническое уравнение окружности:

$(x - \frac{4}{3}a)^2 + y^2 = (\frac{2}{3}a)^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $C(\frac{4}{3}a; 0)$ и радиусом $R = \frac{2}{3}a$.

Ответ: Искомое множество точек является окружностью с центром в точке $C(\frac{4}{3}a; 0)$ и радиусом $R = \frac{2}{3}a$, где $a$ - расстояние между точками A и B.

Замечание

Эту задачу можно обобщить. Множество всех точек M, для которых отношение расстояний до двух данных точек A и B есть постоянное положительное число $k$, не равное единице ($AM = k \cdot BM$, где $k > 0$ и $k \neq 1$), является окружностью. Такие окружности называют окружностями Аполлония.

Координаты центра этой окружности $C(\frac{k^2a}{k^2-1}; 0)$, а ее радиус $R = \frac{ka}{|k^2-1|}$.

В случае, когда $k=1$, условие $AM=BM$ означает, что точка M равноудалена от точек A и B. Множеством таких точек, как известно, является серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Ответ: В общем случае, для условия $AM = k \cdot BM$, искомым множеством является окружность Аполлония (при $k > 0, k \neq 1$) или серединный перпендикуляр к отрезку AB (при $k=1$).