Номер 983, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 983, страница 243.

Условие.

983. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых $AM^2 + BM^2 = k^2$, где k — данное число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Аполлония (формулой для длины медианы треугольника). Пусть $M$ — произвольная точка искомого множества, а $O$ — середина отрезка $AB$. Тогда $MO$ является медианой треугольника $AMB$.

Формула для длины медианы гласит:

$AM^2 + BM^2 = 2(MO^2 + AO^2)$

По условию задачи дано, что $AM^2 + BM^2 = k^2$. Также известно, что $AO$ — это половина длины отрезка $AB$, то есть $AO = \frac{AB}{2}$. Подставим эти данные в формулу:

$k^2 = 2(MO^2 + (\frac{AB}{2})^2)$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $MO^2$:

$k^2 = 2MO^2 + 2 \cdot \frac{AB^2}{4}$

$k^2 = 2MO^2 + \frac{AB^2}{2}$

$2MO^2 = k^2 - \frac{AB^2}{2}$

$MO^2 = \frac{2k^2 - AB^2}{4}$

Из последнего уравнения следует, что точка $M$ находится на фиксированном расстоянии $MO$ от точки $O$ (середины отрезка $AB$). Такое геометрическое место точек является окружностью, точкой или пустым множеством в зависимости от значения правой части уравнения. Проанализируем три возможных случая.

1. Если $2k^2 - AB^2 > 0$ (что равносильно $k^2 > \frac{AB^2}{2}$), то $MO^2$ — положительное число. Искомое множество точек $M$ — это окружность с центром в точке $O$ (середина $AB$) и радиусом $R = MO = \sqrt{\frac{2k^2 - AB^2}{4}} = \frac{\sqrt{2k^2 - AB^2}}{2}$.
2. Если $2k^2 - AB^2 = 0$ (что равносильно $k^2 = \frac{AB^2}{2}$), то $MO^2 = 0$. Это возможно только тогда, когда точка $M$ совпадает с точкой $O$. Таким образом, искомое множество состоит из одной точки — середины отрезка $AB$.
3. Если $2k^2 - AB^2 < 0$ (что равносильно $k^2 < \frac{AB^2}{2}$), то $MO^2$ — отрицательное число. Так как квадрат расстояния не может быть отрицательным, в этом случае не существует точек $M$, удовлетворяющих условию. Искомое множество является пустым.

Ответ:

Искомое множество точек $M$ определяется соотношением между $k$ и длиной отрезка $AB$:

• Если $k^2 > \frac{AB^2}{2}$, то множество точек является окружностью с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом $R = \frac{\sqrt{2k^2 - AB^2}}{2}$.
• Если $k^2 = \frac{AB^2}{2}$, то множество состоит из одной точки — середины отрезка $AB$.
• Если $k^2 < \frac{AB^2}{2}$, то искомое множество пусто.