Номер 982, страница 243 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 982, страница 243.

Условие.

982 Точка B – середина отрезка AC, длина которого равна 2.

Найдите множество всех точек M, для каждой из которых:

a) $AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50$;

б) $AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Введем декартову систему координат для решения задачи. Поскольку точка $B$ является серединой отрезка $AC$, удобно поместить точку $B$ в начало координат, то есть $B(0, 0)$. Пусть отрезок $AC$ лежит на оси абсцисс (оси Ox).

По условию, длина отрезка $AC$ равна 2. Так как $B$ — его середина, то длины отрезков $AB$ и $BC$ равны 1. Исходя из этого, определим координаты точек $A$ и $C$: $A(-1, 0)$ и $C(1, 0)$.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка на плоскости. Найдем квадраты расстояний от точки $M$ до точек $A$, $B$ и $C$, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

$AM^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$

$BM^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$

$CM^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

Теперь рассмотрим каждый из пунктов задачи.

а) $AM^2 + BM^2 + CM^2 = 50$

Подставим полученные выражения для квадратов расстояний в данное уравнение:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 + y^2) + (x^2 - 2x + 1 + y^2) = 50$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$(x^2 + x^2 + x^2) + (y^2 + y^2 + y^2) + (2x - 2x) + (1 + 1) = 50$

$3x^2 + 3y^2 + 2 = 50$

Выполним алгебраические преобразования:

$3x^2 + 3y^2 = 48$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + y^2 = 16$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Поскольку точка $B$ имеет координаты $(0, 0)$, искомое множество точек $M$ представляет собой окружность с центром в точке $B$.

Ответ: Окружность с центром в точке $B$ и радиусом 4.

б) $AM^2 + 2BM^2 + 3CM^2 = 4$

Подставим выражения для квадратов расстояний в это уравнение:

$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + 2(x^2 + y^2) + 3(x^2 - 2x + 1 + y^2) = 4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 3x^2 - 6x + 3 + 3y^2 = 4$

$(x^2 + 2x^2 + 3x^2) + (2x - 6x) + (y^2 + 2y^2 + 3y^2) + (1 + 3) = 4$

$6x^2 - 4x + 6y^2 + 4 = 4$

Упростим уравнение:

$6x^2 - 4x + 6y^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$3x^2 - 2x + 3y^2 = 0$

Чтобы привести уравнение к каноническому виду окружности, разделим его на 3:

$x^2 - \frac{2}{3}x + y^2 = 0$

Теперь выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) - (\frac{1}{3})^2 + y^2 = 0$

$(x - \frac{1}{3})^2 + y^2 = (\frac{1}{3})^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $O(\frac{1}{3}, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{3}$.

Определим положение центра $O(\frac{1}{3}, 0)$ относительно исходных точек. Точка $O$ лежит на оси Ox. Так как координаты точек $B(0, 0)$ и $C(1, 0)$, то точка $O$ находится на отрезке $BC$. Расстояние от точки $B$ до $O$ равно $\frac{1}{3}$, а расстояние от $O$ до $C$ равно $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Таким образом, точка $O$ делит отрезок $BC$ в отношении $BO:OC = \frac{1}{3}:\frac{2}{3} = 1:2$.

Ответ: Окружность с центром в точке $O$, лежащей на отрезке $BC$ на расстоянии $\frac{1}{3}$ от точки $B$, и радиусом $\frac{1}{3}$.