Номер 987, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Параграф 3. Уравнения окружности и прямой - номер 987, страница 244.

Условие.

987*. Дан ромб $ABCD$, диагонали которого равны $2a$ и $2b$. Найдите множество всех точек $M$, для каждой из которых

$AM^2 + DM^2 = BM^2 + CM^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр ромба $ABCD$ (точка пересечения его диагоналей) совпадает с началом координат $O(0, 0)$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому расположим их на осях координат.

Пусть диагональ $AC$ лежит на оси абсцисс ($Ox$), а диагональ $BD$ — на оси ординат ($Oy$). Длина диагонали $AC$ равна $2a$, а длина диагонали $BD$ равна $2b$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, координаты вершин ромба будут следующими:

• $A(-a, 0)$
• $C(a, 0)$
• $B(0, b)$
• $D(0, -b)$

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи. Условие записывается в виде равенства:

$AM^2 + DM^2 = BM^2 + CM^2$

Выразим квадраты расстояний от точки $M(x, y)$ до каждой из вершин ромба, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

• $AM^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2 = (x+a)^2 + y^2$
• $DM^2 = (x - 0)^2 + (y - (-b))^2 = x^2 + (y+b)^2$
• $BM^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + (y-b)^2$
• $CM^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x-a)^2 + y^2$

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$((x+a)^2 + y^2) + (x^2 + (y+b)^2) = (x^2 + (y-b)^2) + ((x-a)^2 + y^2)$

Раскроем скобки:

$(x^2 + 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 + 2by + b^2) = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2)$

Сгруппируем слагаемые:

$2x^2 + 2y^2 + a^2 + b^2 + 2ax + 2by = 2x^2 + 2y^2 + a^2 + b^2 - 2ax - 2by$

Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения ($2x^2$, $2y^2$, $a^2$, $b^2$):

$2ax + 2by = -2ax - 2by$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4ax + 4by = 0$

Разделим обе части на 4 (поскольку для невырожденного ромба $a$ и $b$ не могут быть одновременно равны нулю):

$ax + by = 0$

Это уравнение является уравнением прямой линии, проходящей через начало координат $(0, 0)$, то есть через центр ромба.

Чтобы дать геометрическую интерпретацию этой прямой, найдем ее угловой коэффициент: $y = -\frac{a}{b}x$. Угловой коэффициент $k_1 = -\frac{a}{b}$.

Теперь найдем угловой коэффициент прямой, содержащей сторону $AB$ ромба. Координаты точек $A(-a, 0)$ и $B(0, b)$. Угловой коэффициент $k_2$ прямой $AB$ равен:

$k_2 = \frac{b-0}{0-(-a)} = \frac{b}{a}$

Найдем произведение угловых коэффициентов $k_1$ и $k_2$:

$k_1 \cdot k_2 = (-\frac{a}{b}) \cdot (\frac{b}{a}) = -1$

Поскольку произведение угловых коэффициентов равно -1, найденная прямая $ax+by=0$ перпендикулярна прямой, содержащей сторону $AB$.

Таким образом, искомое множество точек $M$ — это прямая, проходящая через центр ромба и перпендикулярная его стороне $AB$.

Ответ: Искомое множество точек — это прямая, проходящая через центр ромба и перпендикулярная его стороне.