Номер 7, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 7, страница 244.

Условие.

7 Что такое координаты вектора? Чему равны координаты координатных векторов? Как связаны между собой координаты равных векторов?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Что такое координаты вектора?

Координатами вектора в заданной системе координат называются коэффициенты разложения этого вектора по базисным (координатным) векторам. Рассмотрим прямоугольную (декартову) систему координат на плоскости. В этой системе есть два взаимно перпендикулярных единичных вектора $\vec{i}$ и $\vec{j}$, называемых координатными векторами или ортами. Вектор $\vec{i}$ сонаправлен с осью абсцисс $Ox$, а вектор $\vec{j}$ — с осью ординат $Oy$.

Любой вектор $\vec{a}$ на плоскости можно единственным образом представить в виде суммы этих векторов, умноженных на некоторые числа $x$ и $y$:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$

Числа $x$ и $y$ в этом разложении и называются координатами вектора $\vec{a}$ в данном базисе. Их записывают в фигурных скобках или круглых скобках после обозначения вектора: $\vec{a}\{x; y\}$ или $\vec{a}=(x, y)$. Первое число $x$ называется абсциссой вектора, а второе $y$ — ординатой вектора.

Аналогично, в трехмерном пространстве любой вектор $\vec{a}$ раскладывается по трем координатным векторам $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$:

$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$

Здесь числа $x, y, z$ являются его координатами, что записывается как $\vec{a}\{x; y; z\}$.

Если вектор задан координатами своего начала $A(x_1, y_1)$ и конца $B(x_2, y_2)$, то его координаты вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала: $\vec{AB}\{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$.

Ответ: Координаты вектора — это коэффициенты в его разложении по базисным (координатным) векторам. Для вектора $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$ на плоскости его координатами являются числа $x$ и $y$.

Чему равны координаты координатных векторов?

Координатные векторы (орты) — это единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей координат.

В двумерной прямоугольной системе координат:

• Координатный вектор $\vec{i}$ сонаправлен с осью $Ox$. Его разложение по базису $(\vec{i}, \vec{j})$ имеет вид: $\vec{i} = 1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}$. Следовательно, его координаты равны $\{1; 0\}$.
• Координатный вектор $\vec{j}$ сонаправлен с осью $Oy$. Его разложение по базису $(\vec{i}, \vec{j})$ имеет вид: $\vec{j} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j}$. Следовательно, его координаты равны $\{0; 1\}$.

В трехмерной прямоугольной системе координат:

• Координатный вектор $\vec{i}$ (ось $Ox$) имеет координаты $\{1; 0; 0\}$.
• Координатный вектор $\vec{j}$ (ось $Oy$) имеет координаты $\{0; 1; 0\}$.
• Координатный вектор $\vec{k}$ (ось $Oz$) имеет координаты $\{0; 0; 1\}$.

Ответ: Координаты координатного вектора $\vec{i}$ равны $\{1; 0\}$ на плоскости и $\{1; 0; 0\}$ в пространстве. Координаты вектора $\vec{j}$ равны $\{0; 1\}$ на плоскости и $\{0; 1; 0\}$ в пространстве. Координаты вектора $\vec{k}$ в пространстве равны $\{0; 0; 1\}$.

Как связаны между собой координаты равных векторов?

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены). Важным свойством координат является то, что равенство векторов однозначно определяется равенством их соответствующих координат.

Если даны два вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}$ с координатами $\{x_2; y_2\}$, то они равны ($\vec{a} = \vec{b}$) тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны:

$x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$.

Это следует из единственности разложения вектора по базису. Если $\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j}$ и $\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$, то их равенство $\vec{a} = \vec{b}$ означает, что $x_1\vec{i} + y_1\vec{j} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j}$. Перенеся все в одну сторону, получим $(x_1 - x_2)\vec{i} + (y_1 - y_2)\vec{j} = \vec{0}$. Поскольку векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ не коллинеарны, это равенство возможно только если коэффициенты при них равны нулю, то есть $x_1 - x_2 = 0$ и $y_1 - y_2 = 0$.

Для векторов в трехмерном пространстве $\vec{a}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2; z_2\}$ условие равенства аналогично: $\vec{a} = \vec{b}$ тогда и только тогда, когда $x_1 = x_2$, $y_1 = y_2$ и $z_1 = z_2$.

Ответ: Координаты равных векторов соответственно равны. Если $\vec{a}\{x_1; y_1\} = \vec{b}\{x_2; y_2\}$, то $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$.