Номер 9, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 9, страница 244.

Условие.

9. Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Что такое радиус-вектор точки?

Радиус-вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с данной точкой.

В декартовой системе координат, если начало координат обозначить буквой $O$, а произвольную точку — буквой $M$, то её радиус-вектор будет обозначаться как $\vec{OM}$ или часто просто $\vec{r}$ или $\vec{r_M}$.

Понятие радиус-вектора позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между точками пространства и векторами, отложенными от начала координат. Это дает возможность описывать положение точек и решать геометрические задачи с помощью методов векторной алгебры.

Ответ: Радиус-вектор точки — это вектор, проведенный из начала координат в данную точку.

Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

Для доказательства рассмотрим прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$ в трехмерном пространстве. Начало координат — точка $O$ — имеет координаты $(0, 0, 0)$.

Пусть дана произвольная точка $M$ с координатами $(x_M, y_M, z_M)$.

По определению, радиус-вектор точки $M$ — это вектор $\vec{OM}$. Его начало находится в точке $O(0, 0, 0)$, а конец — в точке $M(x_M, y_M, z_M)$.

Координаты любого вектора $\vec{AB}$, заданного координатами своего начала $A(x_A, y_A, z_A)$ и конца $B(x_B, y_B, z_B)$, вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$

Применим эту формулу для нахождения координат радиус-вектора $\vec{OM}$:

Начало: $A = O(0, 0, 0)$, следовательно $x_A=0, y_A=0, z_A=0$.
Конец: $B = M(x_M, y_M, z_M)$, следовательно $x_B=x_M, y_B=y_M, z_B=z_M$.

Подставив эти значения в формулу, получим координаты вектора $\vec{OM}$:

$\vec{OM} = (x_M - 0, y_M - 0, z_M - 0) = (x_M, y_M, z_M)$

Таким образом, мы видим, что координаты вектора $\vec{OM}$ в точности совпадают с координатами точки $M$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Координаты точки $M(x, y, z)$ равны соответствующим координатам её радиус-вектора $\vec{OM}$, поскольку координаты вектора $\vec{OM}$ вычисляются как разность координат его конца (точки $M$) и начала (точки $O(0,0,0)$), что дает $(x-0, y-0, z-0) = (x,y,z)$.