Номер 5, страница 244 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 10. Метод координат. Вопросы к главе 10 - номер 5, страница 244.

Условие.

5 Что такое координатные векторы?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Координатные векторы (также их называют орты или базисные векторы) — это набор векторов, которые задают прямоугольную систему координат и служат основой (базисом) для представления всех других векторов в данном пространстве.

Они обладают следующими ключевыми свойствами:
1. Единичная длина: Длина (модуль) каждого координатного вектора равна 1. Например, $|\vec{i}| = 1$. Поэтому их также называют единичными векторами.
2. Взаимная перпендикулярность (ортогональность): Координатные векторы перпендикулярны друг другу. Например, $\vec{i} \perp \vec{j}$.
3. Направление: Каждый вектор сонаправлен с положительным направлением своей координатной оси, и его начало совпадает с началом координат.

В двумерной декартовой системе координат на плоскости (Oxy) существует два координатных вектора:
• Вектор $\vec{i}$, направленный вдоль оси абсцисс (Ox). Его координаты: $\vec{i} = \{1; 0\}$.
• Вектор $\vec{j}$, направленный вдоль оси ординат (Oy). Его координаты: $\vec{j} = \{0; 1\}$.

В трехмерной системе координат в пространстве (Oxyz) существует три координатных вектора:
• Вектор $\vec{i}$, направленный вдоль оси абсцисс (Ox). Его координаты: $\vec{i} = \{1; 0; 0\}$.
• Вектор $\vec{j}$, направленный вдоль оси ординат (Oy). Его координаты: $\vec{j} = \{0; 1; 0\}$.
• Вектор $\vec{k}$, направленный вдоль оси аппликат (Oz). Его координаты: $\vec{k} = \{0; 0; 1\}$.

Основное предназначение координатных векторов — разложение любого вектора по базису. Любой вектор можно однозначно представить в виде суммы координатных векторов, умноженных на соответствующие ему числовые коэффициенты (координаты). Например, для вектора $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ в пространстве разложение выглядит так:$$ \vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k} $$Это позволяет связать геометрическое представление векторов с их алгебраическими свойствами через координаты.

Ответ: Координатные векторы — это единичные, взаимно перпендикулярные векторы (орты), которые направлены вдоль положительных направлений осей координат ($\vec{i}$, $\vec{j}$ на плоскости; $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ в пространстве) и служат базисом для представления любого другого вектора в виде их линейной комбинации.